Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 775
Übung 1.2.22 (Beispiel für eine surjektive Exponentialabbildung).
Man zeige, daß die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe aller komplexen
invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine Surjektion exp : Mat(2×2; C) ↠
GL(2; C) ist. Hinweis: Jordan-Zerlegung und 1.2.21. Man folgere, daß die Exponentialabbildung
im Fall der Gruppe aller komplexen invertierbaren Matrizen
eine Surjektion ist.
Übung 1.2.23. Man zeige, daß die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe
aller reellen invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen
ein Diffeomorphismus ist. Hinweis: Jordan-Zerlegung und 1.2.21
und II.7.4.11.
Übung 1.2.24 (Beispiel für eine nicht surjektive Exponentialabbildung).
Ist x = xs + xn die additive Jordanzerlegung einer Matrix x ∈
Mat(n × n; R) oder x ∈ Mat(n × n; C), so ist exp x = (exp xs)(exp xn)
die multiplikative Jordanzerlegung von exp x. Man folgere, daß der (2 × 2)-
Jordanblock zum Eigenwert −1 nicht zum Bild von exp : Mat(2 × 2; R) →
GL(2; R) gehören kann, obwohl er durchaus zur Zusammenhangskomponente
der Einheitsmatrix gehört.
Übung 1.2.25. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum V und
ein Vektor v ∈ V hat die Matrix-Liegruppe G = {g ∈ Aut V | gv = v} am
neutralen Element den Tangentialraum TeG = {x ∈ End V | xv = 0}. Des
weiteren hat die Matrix-Liegruppe G = {g ∈ Aut V | gv ∈ Rv} am neutralen
Element den Tangentialraum TeG = {x ∈ End V | xv ∈ Rv}.
Übung 1.2.26. Sind V, W endlichdimensionale R-Vektorräume und ist ω : V ×
V → W bilinear und G ⊂ GL(V ) die Gruppe aller g mit ω(gv, gw) = ω(v, w)
für alle v, w ∈ V , so besteht Lie G ⊂ End(V ) genau aus allen Endomorphismen
X mit ω(Xv, w) + ω(v, Xw) = 0 für alle v, w ∈ V .
1.3 Topologischer Zusammenhang
1.3.1. Um zu zeigen, daß eine zusammenhängende abgeschlossene Untergruppe
einer Matrix-Liegruppe bereits durch ihren Tangentialraum am neutralen
Element eindeutig festgelegt wird, ist der topologische Zusammenhangsbegriff
besonders bequem. Wir diskutieren ihn und seine Beziehung zum Begriff
des Wegzusammenhangs aus IV.3.4.1 an dieser Stelle gleich in voller
Allgemeinheit.
Definition 1.3.2. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend genau
dann, wenn er nicht leer ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung von
zwei nichtleeren offenen Teilmengen schreiben läßt.