Analysis

3. STETIGKEIT 161
Übung 3.3.22 (Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert). Sei D ⊂
R eine Teilmenge und p ∈ D ein Häufungspunkt und seien f, g : D\p → R
zwei Funktionen, die Grenzwerte besitzen für x → p. Gilt f(x) ≤ g(x) für
alle x ∈ D\p, so folgt limx→p f(x) ≤ limx→p g(x).
Übung 3.3.23. Gilt für eine durch ein Polynom vom Grad ≤ n gegebene
Funktion f(x) = anx n + . . . + a1x + a0 und ein p ∈ R die Formel
limx→p f(x)/(x − p) n = 0, so folgt a0 = a1 = . . . = an = 0. Hinweis: Durch
Verschieben kann man sich auf den Fall p = 0 zurückziehen.
Definition 3.3.24. Eine besondere Notation vereinbaren wir für den Fall
einer Funktion f : (a, b)\p → R mit p ∈ (a, b), wenn wir den Grenzwert für
x → p ihrer Restriktion auf (a, p) oder auf (p, b) untersuchen wollen. Wir
sprechen dann vom linkseitigen bzw. vom rechtseitigen Grenzwert und
notieren diese Grenzwerte
lim
x→p f|(a,p) = lim f(x) und lim f|(p,b) = lim f(x)
x↗p x→p x↘p
In diesem Fall existiert der Grenzwert genau dann, wenn der linkseitige
Grenzwert und der rechtseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen,
wie man leicht aus den Definitionen folgert.
Beispiel 3.3.25. Es gilt limx↘0 1/x = ∞ und limx↗0 1/x = −∞.
Satz 3.3.26 (Einparameteruntergruppen von R). Die stetigen Gruppenhomomorphismen
R → R von der additiven Gruppe der reellen Zahlen
in sich selber sind genau die Abbildungen x ↦→ λx für beliebiges aber festes
λ ∈ R.
Beweis. Sei F : R → R ein stetiger Gruppenhomomorphismus, als da heißt
eine stetige Abbildung mit F (x + y) = F (x) + F (y) ∀x, y ∈ R. Es reicht zu
zeigen, daß F die Gleichung F (x) = xF (1) erfüllt. Auch ohne die Stetigkeit
von F zu benutzen, folgern wir F (q) = qF (1) zunächst für alle q ∈ N, dann
für alle q ∈ Z, dann für alle q ∈ Q. Um unsere Gleichung F (x) = xF (1) sogar
für alle x ∈ R zu zeigen, wählen wir eine Folge qn von rationalen Zahlen mit
limn→∞ qn = x und erhalten F (x) = limn→∞ F (qn) = limn→∞ qnF (1) =
xF (1), also F (x) = λx für λ = F (1).
Satz 3.3.27 (Einparameteruntergruppen von R × ). Die stetigen Gruppenhomomorphismen
R → R × von der additiven Gruppe der reellen Zahlen
in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind
genau die Abbildungen x ↦→ a x für beliebiges aber festes a ∈ R>0.