Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 269
7.2 Ableiten von raumwertigen Funktionen
Definition 7.2.1. Seien γ : I → X eine Abbildung von einer halboffenen
Teilmenge I ⊂ R in einen normierten Raum X und p ∈ I ein Punkt von
I. Wir nennen die Abbildung γ differenzierbar bei p genau dann, wenn
der Grenzwert limt→0(γ(p + t) − γ(p))/t in X existiert im Sinne von 6.6.8.
In diesem Fall nennen wir besagten Grenzwert die Ableitung von γ bei p
und notieren diesen Vektor
γ ′ γ(p + t) − γ(p)
(p) := lim
t→0 t
γ(q) − γ(p)
= lim
q→p q − p
Ist γ differenzierbar an allen Stellen p ∈ I, so nennen wir γ differenzierbar
oder genauer differenzierbar auf I.
7.2.2. Ich denke mir eine Abbildung von einer halboffenen Teilmenge I ⊂ R
in einen normierten Raum X gerne als Beschreibung eines Teilchens, das sich
in X bewegt, und denke mir also I als ein Zeitintervall. Dann nenne ich γ ′ (p)
auch die “Geschwindigkeit” oder genauer den “Geschwindigkeitsvektor” von γ
zum Zeitpunkt p und schreibe sogar manchmal ˙γ statt γ ′ . In physikalischen
Zusammenhängen verwende ich diese Begriffe jedoch präziser nur für Funktionen
auf einer halboffenen Teilmenge I ⊂ T unseres mathematischen Modells
der Zeit aus ??, vergleiche VII.3.1.2, denn eine physikalische Geschwindigkeit
darf ja nicht die Einheit einer Länge haben. Wie man für Abbildungen von
beliebigen eindimensionalen reellen Räumen in normierte reelle Räume die
Ableitung definiert, besprechen wir in IV.1.2.2 und IV.1.2.15.
7.2.3. Formal folgt die in der Definition implizit behauptete Gleichheit der
beiden Grenzwerte aus dem Analogon der zweiten Aussage von 3.3.21, die
sich wie in 6.6.11 kurz erwähnt mitsamt ihrem Beweis ohne weitere Schwierigkeiten
auf den Fall von Grenzwerten bei metrischen oder sogar topologischen
Räumen verallgemeinern läßt.
7.2.4. Ich lege hier die Begrifflichkeit normierter affiner Räume im Sinne von
6.8.2 zugrunde. Der Leser mag sich stattdessen auch normierte Vektorräume
oder sogar den R n denken. Die gewählte Allgemeinheit modelliert jedoch
meines Erachtens besser unsere Anschauung bewegter Teilchen, etwa im uns
umgebenden Raum oder auch auf der Tafelebene. Des weiteren hoffe ich,
daß die begriffliche Trennung von Punkten einerseits und Richtungsvektoren
andererseits auch das Verständnis fördern mag.
Übung 7.2.5. Auch für Abbildungen halboffener Teilmengen von R in normierte
Räume folgt aus der Differenzierbarkeit bereits die Stetigkeit.
Übung 7.2.6. Sei γ : I → X eine Abbildung von einer halboffenen Teilmenge
I ⊂ R in einen normierten Raum X und sei L : X → Y eine stetige affine