Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 703
bereits dann sinnvoll eine komplexe Zahl als Wert zuordnen, wenn F : R2n →
C glatt ist und alle seine partiellen Ableitungen gleichmäßig stetig und beschränkt
sind. Für Funktionen F der Gestalt F (x, y) = f(x)g(y) mit f und g
aus dem Schwartzraum liefert unser Integral bis auf geeignete Normalisierungen
das Skalarprodukt von f mit der Fouriertransformierten von g. Es fällt
mir schwer, dieses Resultat im Allgemeinen einzuordnen. Es mag sinnvoll
sein, etwas allgemeiner
ˆF (a, b) = F (x + a, y + b) e 2πix·y dx dy
als Funktion von a, b zu untersuchen und zu bestimmen, wie diese Funktion
mit Funktionen des Schwartzraums G(a, b) paaren sollte. Gegeben Funktionen
f, g aus dem Schwartzraum und mit G(a, b) = f(a)g(b) finden wir
heuristisch
f(a)g(b)F (x + a, y + b) e −ixy = f(a)g(b)F (x, y + b) e −i(x−a)y
= ˆ f(−y) e −ixy g(b)F (x, y + b)
= ˆ f(−y)g(b − y) e −ixy F (x, b)
= h(x, b)F (x, b)
für h die Fouriertransformierte in y der Schwartzfunktion gegeben durch
(y, b) ↦→ ˆ f(−y)g(b − y).