Analysis

1. FUNKTIONENRÄUME UND FOURIERREIHEN 649
1.5.2. Diese Aussage ist im Fall p = ∞ nicht mehr richtig. So kann man
für n ≥ 1 die konstante Funktion 1 in L ∞ nicht als Grenzwert einer Folge
von Funktionen mit kompaktem Träger erhalten, und die charakteristische
Funktion eines nichtleeren und von ganz R verschiedenen Intervalls hat von
jeder stetigen Funktion mit kompaktem Träger einen ∞-Abstand ≥ 1.
Beweis. Natürlich ist C ∞ c (U) ⊂ L p (U; µ) ein Untervektorraum. Wir zeigen
nun für immer größere Funktionenklassen, daß sie zu C ∞ c (U) gehören.
1. Ist A ⊂◦ U offen von endlichem Maß µ(A) < ∞, so gehört die charakteristische
Funktion [A] von A zu C ∞ c (U). Das folgt mit dem Satz über monotone
Konvergenz sofort aus Lemma IV.6.8.4, nach dem eine Folge nichtnegativer
glatter Funktionen mit kompaktem, in A enthaltenem Träger monoton gegen
die charakteristische Funktion von A konvergiert.
2. Ist B ⊂ U meßbar von endlichem Maß µ(B) < ∞, so gehört [B] zu
C ∞ c (U). In der Tat, für jedes ε > 0 finden wir aufgrund der Regularität unseres
Maßes nach IV.6.7.3 eine offene Teilmenge A ⊂◦ U mit B ⊂ A und
µ(B) ≤ µ(A) ≤ µ(B) + ε. Für deren charakteristische Funktion gilt dann
[B] − [A]p < ε 1/p . Also ist [B] Grenzwert einer Folge aus C ∞ c (U) und gehört
mithin selbst zu C ∞ c (U).
3. Für jeden Maßraum liegen die integrierbaren Stufenfunktionen für p ∈
[1, ∞) dicht im Raum aller L p -Funktionen, siehe 1.3.11.
Ergänzung 1.5.3. Im Raum der L p -Funktionen auf einem beliebigen separablen
lokal kompakten Hausdorff-Raum mit einem Borel-Maß liegen die stetigen
Funktionen mit kompaktem Träger dicht. Das Argument geht ähnlich.
Ergänzende Übung 1.5.4. Ist U ⊂◦ R n eine offene Teilmenge und µ darauf ein
Borelmaß, so gibt es für jede beschränkte meßbare Funktion f : U → C eine
Folge fn in C ∞ c (U) mit fn∞ ≤ f∞ für alle n und fn(x) → f(x) für fast
alle x ∈ U. Hinweis: Da unser Maß notwendig σ-endlich ist, findet man ein
endliches Maß mit denselben Nullmengen, für das dann f integrierbar ist.
Nun verwende man 1.3.9.
Satz 1.5.5 (Fourier-Reihen quadratintegrierbarer Funktionen). Sei
das Intervall [0, 2π] mit dem auf Gesamtmaß Eins normierten Lebesgue-Maß
µ := dt/2π versehen und Z mit dem Zählmaß. So liefert die Fourierentwick-
lung f ↦→ f ∧ gegeben durch f ∧ (n) := 2π
0 f(t) e− i nt µ〈t〉 einen Isomorphismus
von Hilberträumen
L 2 ([0, 2π]; µ) ∼ → L 2 (Z)
Beweis. Wir müssen nach 1.4.10 nur zeigen, daß die Funktionen (e i nt )n∈Z im
Sinne von 1.4.5 eine Hilbertbasis von L 2 ([0, 2π]; µ) bilden. Wir haben schon