Analysis

1436 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
valenz von Kategorien
⎧
⎫
⎪⎨
zusammenhängende ⎪⎬
endliche Überlagerungen
⎪⎩
des Komplements ⎪⎭
endlicher Teilmenen vonC
∼
−→
endliche Körpererweiterungen
von C(T )
X ↦→ M(X)
wo wir Morphismen von p : X → C\P nach q : Y → C\Q verstehen als
Decktransformationene zwischen den beiden Überlagerungen von C\(P ∪ Q)
durch p −1 (C\(P ∪ Q)) und q −1 (C\(P ∪ Q)). Die Verknüpfung mit einem
Morphismus in eine weitere Überlagerung r : Z → C\R ist zwar dann a
priori nur als Decktransformation von p −1 (C\(P ∪ Q ∪ R)) nach r −1 (C\(P ∪
Q ∪ R)) definiert, läßt sich aber eindeutig stetig zu einer Decktransformation
p −1 (C\(P ∪R)) → r −1 (C\(P ∪R)) fortsetzen, und diese Fortsetzung verstehen
wir dann als die Verknüpfung unserer beiden Morphismen.
Definition 5.1.23. Seien V, W normierte komplexe Vektorräume und U ⊂◦ V
eine halboffene Teilmenge. Eine Abbildung f : U → W heißt komplex differenzierbar
genau dann, wenn sie stetig differenzierbar ist und ihr Differential
an jeder Stelle komplex-linear ist.
Beispiel 5.1.24. Gegeben Polynome P, Q ∈ C[X1, . . . , Xn] ist die Abbildung
{x ∈ C n | Q(x) = 0} → C
gegeben durch x ↦→ P (x)/Q(x) komplex differenzierbar. Alle durch den Satz
über implizite Funktionen aus komplex differenzierbaren Abbildungen entstehenden
Abbildungen sind nach IV.4.2.4 auch selbst wieder komplex differenzierbar.
5.1.25. Die beiden folgenden Sätze scheinen mir die zentrale Rolle der Riemann’schen
Flächen auf das Schönste zu illustrieren. Ich will gerne einmal
einen Beweis ausschreiben.
Satz 5.1.26 (Algebra durch Holomorphie). Die Vorschrift, die jeder
Riemann’schen Fläche den Ring ihrer meromorphen Funktionen zuordnet,
liefert eine kontravariante Äquivalenz von Kategorien
⎧
⎨
⎩
kompakte
zusammenhängende
Riemann’sche Flächen
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎧
⎨
⎩
endlich erzeugte
Körpererweiterungen von C
vom Transzendenzgrad Eins
X ↦→ M an (X)
Hier sind links als Morphismen nichtkonstante holomorphe Abbildungen zu
verstehen und rechts als Morphismen eben Körperhomomorphismen unter C.
⎫
⎬
⎭