Analysis

1. STEINBRUCH-HALDE 1185
1.7 Integration über Fasern
Definition 1.7.1. Sei f : X → Y eine Submersion von glatten Mannigfaltigkeiten
im Sinne von VI.4.3.17 und ω ∈ Ωp (X) eine stetige p-Form derart,
daß f : (supp ω) → Y eigentlich ist. Seien weiter X und Y orientiert. Wir
nehmen zusätzlich an, daß daß der Grad p unserer Differentialform mindestens
die Faserdimension c = dim X − dim Y ist. So können wir für q = p − c
eine stetige q-Form
ω auf Y erklären wie folgt: Gegeben y ∈ Y und Tan-
f
gentialvektoren v1, . . . , vq ∈ TyY und x ∈ f −1 (y) und w1, . . . , wc ∈ Txf −1 (y)
setzen wir
ω[v1, . . . , vq](w1, . . . , wc) := ω(w1, . . . , wc, ˜v1, . . . , ˜vq)
für beliebige ˜v1, . . . , ˜vq ∈ TxX mit dxf : ˜vi ↦→ vi. Die linke Seite ist wohldefiniert,
da sich andere Lifts ˆvi ∈ TxX von unseren ausgewählten Lifts vi
nur um Vektoren unterscheiden, die tangential an die Faser sind, in Formeln
ˆvi − ˜vi ∈ Txf −1 (y), so daß w1, . . . , wc, (ˆvi − ˜vi) stets linear abhängig sein
muß. Damit ist für alle v1, . . . , vq ∈ TyY unser ω[v1, . . . , v1] eine wohldefinierte
stetige c-Form auf der Faser, die von v1, . . . , vq in alternierender und
multilinearer Weise abhängt, und wir können
ω erklären durch
f
ω (v1, . . . , vq) =
f −1 ω[v1, . . . , vq]
(y)
wobei f −1 (y) mit der durch die Orientierungen von X und Y gegebenen
Orientierung versehen wird. Das ist leider noch schwammig, ich habe über
die guten Vorzeichenwahlen noch nicht nachgedacht. Speziell erhalten wir so
auf den kompakt getragenen Formen eine Abbildung
f
: Ω p
! (X) → Ωp−c
!
1.7.2. Jetzt muß natürlich gezeigt werden, daß für Submersionen f : X → Y
und g : Y → Z von orientierten Mannigfaltigkeiten gilt
ω = ω
g
f
Des weiteren muß gezeigt werden, daß gegeben ein kartesisches Diagramm
f ◦ g = h ◦ k von glatten Mannigfaltigkeiten mit Submersionen f, k stets gilt
h ∗
ω = (g ∗ ω)
f
k
g◦f
f
(Y )