Analysis

3. WEGINTEGRALE 429
SkriptenBilder/BildWiF.png
Daß ein rotationsfreies Vektorfeld auf einer nicht wegweise einfach
zusammenhängenden offenen Teilmenge eines R n nicht notwendig ein
Potential besitzt, zeigt das Vektorfeld grad θ auf R 2 \ 0, wo θ(x, y) der eben
nur bis auf eine additive Konstante wohlbestimmte Winkel ist, den der
Strahl vom Nullpunkt nach (x, y) mit der horizontalen Koordinatenachse
einschließt. Der Gradient grad θ ist dann ein wohldefiniertes rotationsfreies
Vektorfeld auf dem Komplement des Ursprungs, hat aber kein global
definiertes Potential. Dies Vektorfeld ist nicht ganz leicht zu zeichnen, da
die Längen seiner Vektoren gegen den Ursprung hin ins Unendliche
wachsen. Auf den ersten Blick mag es absurd wirken, dieses Feld wirbelfrei
zu nennen. Eine außerhalb des Ursprungs zum Testen hereingelegte kleine
Kreisscheibe würde aber in der Tat nicht gedreht, die stärkeren Vektoren
zerren zwar an der dem Ursprung zugewandten Seite, aber von diesen
Vektoren greifen andererseits auch weniger an. In gewisser Weise
konzentriert sich hier das gesamte Wirbeln im Ursprung, und der gehört
nun eben gerade nicht zu unserem Definitionsbereich. In mathematischer
Sprechweise ist dϑ ein geschlossenes Kovektorfeld auf der punktierten
Ebene, das jedoch nicht das Differential einer global definierten Funktion
ist.