Analysis

144 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
3.1.9 (Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft). Wird eine Funktion stetig
bei einem Punkt nach Einschränkung auf eine Umgebung des besagten Punktes,
so war sie dort schon selbst stetig. Ist genauer und in Formeln D ⊂ R
eine Teilmenge und f : D → R eine Funktion und p ∈ D ein Punkt und
gibt es eine Umgebung U von p derart, daß die Einschränkung von f auf
D ∩ U stetig ist bei p, so ist auch f : D → R bereits stetig bei p. Um das
zum Ausdruck zu bringen, sagt man dann etwas vage, die “Stetigkeit sei eine
lokale Eigenschaft”.
Lemma 3.1.10 (ε-δ-Kriterium für die Stetigkeit). Sei D ⊂ R eine
Teilmenge, f : D → R eine reellwertige Funktion und p ∈ D ein Punkt.
Genau dann ist f stetig bei p, wenn es für jedes ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt
derart, daß für alle x ∈ D mit |x − p| < δ gilt |f(x) − f(p)| < ε.
Beweis. Das folgt sofort aus der Definition der Stetigkeit 3.1.3 und der Definition
des Umgebungsbegriffs 2.1.8.
Übung 3.1.11. Seien I, J ⊂ R Intervalle mit nichtleerem Schnitt und sei
f : (I ∪ J) → R eine Funktion. Man zeige: Sind die Einschränkungen f|I und
f|J stetig, so ist auch f selbst stetig. Im übrigen wird sich der “schwierige”
Fall dieser Übung als Spezialfall von 6.5.35 erweisen.
Lemma 3.1.12. Die Funktion R × → R, x ↦→ 1
x
Beweis. Das ist gerade die Aussage von 2.1.37.3.
ist stetig.
Lemma 3.1.13. Die Exponentialfunktion exp : R → R ist stetig.
3.1.14. Die Stetigkeit der Exponentialfunktion können wir später auch aus
dem allgemeinen Satz 5.1.5 folgern: Potenzreihen stellen auf ihrem Konvergenzbereich
immer stetige Funktionen dar.
Beweis. Wir wenden das ε-δ-Kriterium 3.1.10 an. Mit der Funktionalgleichung
finden wir
| exp(x) − exp(p)| = | exp(p)| · | exp(x − p) − exp(0)|
Nun beachten wir, daß für |y| ≤ 1 gilt
∞ y
| exp(y) − exp(0)| = |y| ·
i−1
≤ |y| ·
i!
i=1
∞
i=1
|y| i−1
(i − 1)!
≤ |y| exp(1)
wo wir im zweiten Schritt die Dreiecksungleichung sowie die Erhaltung von
Ungleichungen im Grenzwert verwenden und die Nenner verkleinern. Aus
|x − p| ≤ 1 folgt also | exp(x) − exp(p)| ≤ exp(p)|x − p| e und für gegebenes
ε > 0 können wir mithin δ = inf{1, ε/(exp(p) e)} nehmen.