Analysis

932 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
5.8.21. Wir können nun mit identischen Beweisen viele unserer Resultate für
kompakte Matrix-Liegruppen auf beliebige kompakte Liegruppen verallgemeinern.
Ich erwähne insbesondere:
Lemma 5.8.22. Auf jeder stetigen endlichdimensionalen Darstellung einer
kompakten Liegruppe gibt es ein invariantes Skalarprodukt.
Satz 5.8.23 (Vollständige Reduzibilität). Jede stetige endlichdimensionale
Darstellung einer kompakten Liegruppe läßt sich als die direkte Summe
von einfachen Unterdarstellungen schreiben.
Satz 5.8.24 (Isotypische Zerlegung). Sei G eine kompakte Liegruppe und
L ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen komplexer einfacher
Darstellungen von G. So liefert für jede komplexe endlichdimensionale Darstellung
V von G das Auswerten einen Isomorphismus
L ⊗C Hom G C(L, V ) ∼ → V
L∈L
5.8.25. Die Beweise dieser Sätze können wie gesagt wortwörtlich von den Beweisen
im Spezialfall von Matrix-Liegruppen 2.3.12, 2.3.1 und 2.4.14 übernommen
werden.
5.9 Satz von Frobenius, wohin?
Definition 5.9.1. Seien X ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum und
U ⊂◦ X eine offene Teilmenge. Eine d-dimensionale Distribution D auf U
ist eine Zuordnung, die jedem Punkt p ∈ U einen d-dimensionalen Teilraum
D(p) ⊂ X
zuordnet. Eine derartige Distribution heißt glatt genau dann, wenn es glatte
Vektorfelder auf U gibt, deren Werte an jedem Punkt p ∈ U den Raum
D(p) aufspannen. Eine glatte Distribution heißt involutiv genau dann, wenn
diejenigen glatten Vektorfelder auf U, die an jeder Stelle p Werte in unserem
Teilraum D(p) annehmen, im Raum aller glatten Vektorfelder auf U eine
Unter-Liealgebra bilden, wenn also in Formeln für je zwei glatte Vektorfelder
A, B : U → X mit Ap, Bp ∈ D(p) ∀p ∈ U gilt [A, B]p ∈ D(p) ∀p ∈ U.
Satz 5.9.2 (von Frobenius). Sei X ein endlichdimensionaler reeller affiner
Raum, U ⊂◦ X eine offene Teilmenge und D eine glatte d-dimensionale
Distribution auf U. Genau dann ist D involutiv, wenn man für jeden Punkt
q ∈ U eine offene Umgebung V ⊂◦ U und darauf Koordinaten y1, . . . , yn so
finden kann, daß für alle p ∈ V gilt
D(p) = 〈(∂/∂y1)p, . . . , (∂/∂yd)p〉