Analysis

978 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Abschlüsse der zugehörigen Alkoven ganz E. Bezeichnet A diese Menge von
Alkoven, so gilt also in Formeln
E =
Ā
A∈A
Beweis. Für p ∈ E finden wir nach Lemma 7.2.4 eine affine Gerade durch p,
die in keiner unserer Hyperebenen H ∈ H enthalten ist. Dann gibt es auch
einen Punkt q auf unserer Gerade derart, daß das halboffene Geradensegment
(p, q] keine unserer Hyperebenen H ∈ H trifft. Damit liegt aber per
definitionem der Punkt p im Abschluß des Alkoven von q.
Definition 7.2.27. Gegeben ein Alkoven heißt eine Hyperebene eine Wand
unseres Alkoven genau dann, wenn sie der Träger einer Randfacette unseres
Alkoven ist. Insbesondere gehört nach 7.2.21 eine Wand eines Alkoven
zu jedem lokal endlichen System von Hyperebenen, das besagten Alkoven
beschreibt. Die Menge der Wände eines Alkoven A notieren wir HA.
Übung 7.2.28. Eine Hyperebene ist eine Wand eines vorgegebenen Alkoven
genau dann, wenn es einen Punkt aus dem Abschluß unseres Alkoven gibt
derart, daß unsere Hyperebene die einzige Hyperebene durch besagten Punkt
ist, die unseren Alkoven vermeidet.
Satz 7.2.29 (Begrenzung eines Alkoven durch seine Wände). Jeder
Alkoven ist der Schnitt über alle ihn umfassenden Halbräume zu seinen
Wänden. In Formeln gilt für jeden Alkoven A also
A =
H∈HA
Beweis. Es gilt zu zeigen, daß jedes Segment [x, y] mit x ∈ A und y ∈ A
mindestens eine Wand von A trifft. Per definitionem gibt es ein lokal endliches
System H von Hyperebenen, das den Alkoven A beschreibt. Lassen
wir aus diesem System eine Hyperebene weg, die keine Wand von A ist, so
erhalten wir nach 7.2.30 wieder ein lokal endliches System von Hyperebenen,
das den Alkoven A beschreibt. Trifft unser Segment also keine Wand von
A, so können wir die endlich vielen Hyperebenen aus H, die es trifft, aus H
herausnehmen und erhalten nach unserer Vorüberlegung wieder ein System
von Hyperebenen, das den Alkoven A beschreibt. Daraus folgt jedoch y ∈ A
im Widerspruch zu unserer Annahme.
Lemma 7.2.30. Gegeben ein Alkoven und ein ihn beschreibendes System
von Hyperebenen H ist eine Hyperebene H ∈ H eine Wand unseres Alkoven
genau dann, wenn es auf H einen Punkt aus dem Abschluß unseres Alkoven
gibt, der auf keiner anderen Hyperebene aus H liegt.
H +
A