Analysis

17. RADONMASSE UND HAAR’SCHE MASSE 1169
Korollar 17.3.10 (über Haar’sche Borelmaße). Auf jeder separablen
lokal kompakten Hausdorff’schen Gruppe gibt es ein Haar’sches Borelmaß,
und je zwei Haar’sche Borelmaße auf einer derartigen topologischen Gruppe
unterscheiden sich höchstens um einen konstanten positiven reellen Faktor.
Ergänzung 17.3.11. Die Forderung der Separabilität ist notwendig, um die
Eindeutigkeit bis auf einen konstanten Faktor zu sichern. Ist zum Beispiel G
eine überabzählbare Gruppe mit der diskreten Topologie, so wäre das Zählmaß
ein Haar’sches Borelmaß in unserem Sinne, aber auch das Maß, das jeder
abzählbaren Teilmenge das Maß Null zuordnet und jeder überabzählbaren
Teilmenge das Maß Unendlich. In diesem Fall gälte die Eindeutigkeit bis auf
einen konstanten Faktor also nicht. Man kann die Eindeutigkeit Haar’scher
Borelmaße durch zusätzliche Forderungen an die fraglichen Borelmaße auch
in dieser Allgemeinheit sichern, vergleiche etwa [?]. Diesen Aufwand will ich
jedoch vermeiden, da den meisten von uns aller Voraussicht nach kaum einmal
lokal kompakte topologische Gruppen begegnen werden, die nicht zusätzlich
auch noch separabel sind.
Beweis. Man kombiniere den Satz 17.3.3 über die Existenz und Eindeutigkeit
Haar’scher Maße mit dem Riesz’schen Darstellungssatz 17.2.3.
Übung 17.3.12. Gegeben ein Haar’sches Borelmaß auf einer separablen lokal
kompakten Hausdorff’schen Gruppe hat jede nichtleere offene Teilmenge
positives Maß. Hinweis: 17.3.6.
Satz 17.3.13 (Maße auf Quotienten). Gegeben eine lokal kompakte Hausdorff’sche
Gruppe G und eine abgeschlossene Untergruppe H ⊂ V G, beide
unimodular, sowie Haar-Maße µG auf G und µH auf H, gibt es genau ein
Radonmaß µG/H auf G/H mit der Eigenschaft, daß für alle f ∈ Cc(G) gilt
f(x)µG〈x〉 =
G/H
H
f(xy)µH〈y〉 µG/H〈xH〉
17.3.14. Sicher gibt es eine kompakte Umgebung V ⊂ G des neutralen Elements.
Dann ist K := (V −1 supp f) ∩ H ein Kompaktum von H und alle
Funktionen y ↦→ f(xy) mit x ∈ V haben Träger in K. Nach 17.2.5 ist nun
unser Radonmaß µH stetig auf CK(H, R) für die Norm der gleichmäßigen
Konvergenz. Nach 10.7.13 ist weiter f gleichmäßig stetig, für alle ε > 0 gibt
es also eine Umgebung U des neutralen Elements mit |f(xy) − f(y)| < ε für
alle x ∈ U und y ∈ H. Wenn U ⊂ V annehmen etc. etc.
Beweis. Noch nicht ausgearbeitet.