Analysis

1434 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Für H die Deckbewegungsgruppe von q : ˜ X ↠ X liefert offensichtlich
das Vorschalten von q einen Isomorphismus M(X) ∼ → M( ˜ X) H und aus
?? folgt [M( ˜ X) : M(X)] = |H| sowie [M( ˜ X) : M(C)] = |Γ| für Γ die
Deckbewegungsgruppe von ˜ X ↠ (C\P ). Damit ergibt sich dann schließlich
[M(X) : M(C)] = |Γ|/|H| = n wie gewünscht. Es bleibt nur noch zu zeigen,
daß wir auf diesem Wege auch alle endlichen Körpererweiterungen des Funktionenkörpers
C(T ) erhalten. Nach ?? entsteht ja jede derartige Erweiterung
durch Adjunktion einer Nullstelle eines irreduziblen Polynoms f ∈ C(T )[S].
Nach ?? finden wir dazu stets c ∈ C(T ) × mit cf ∈ C[T ][S] primitiv, und
nach ?? ist g = cf dann auch irreduzibel in C[T ][S] = C[T, S]. Nun überlegt
man sich leicht, daß die kanonische Abbildung C[T, S]/〈g〉 → C(T )[S]/〈g〉
einen Körperisomorphismus
Quot(C[T, S]/〈g〉) ∼ → C(T )[S]/〈g〉
induziert. Bezeichnet Z(g) = {(a, λ) ∈ C 2 | g(a, λ) = 0} die Nullstellenmenge
von g, so liefert das Einschränken polynomialer Funktionen nach ??
einen Ringhomomorphismus und nach ?? sogar einen injektiven Ringhomomorphismus
C[T, S]/〈g〉 ↩→ Ens(Z(g), C)
Da nun g Polynomring C(T )[S] über dem Funktionenkörper C(T ) irreduzibel
ist, ist g in besagtem Polynomring teilerfremd zu seiner Ableitung g ′ = ∂g
∂S
und wir finden folglich eine Identität
1 = hg + kg ′
mit h, k ∈ C(T )[S]. Mit Ausnahme der Elemente der endlichen Menge P ⊂ C
der Polstellen der Koeffizienten von h und k können wir in diese Identität
alle komplexen Zahlen a einsetzen und folgern mit ??, daß für alle a ∈ C\P
das Polynom g(a, S) ∈ C[S] keine mehrfachen Nullstellen hat. Vergrößern
wir unsere endliche Menge P noch um die Nullstellen des Leitkoeffizienten
in Bezug auf S von g ∈ C[T ][S] und hat unser g in S etwa den Grad n, so
hat folglich g(a, S) für alle a ∈ C\P genau n Nullstellen in S. Die Fasern der
Projektion auf die erste Koordinate
pr 1 : Z(g) → C
haben also außerhalb einer endlichen Menge P ⊂ C stets genau n Elemente.
Nach dem Satz über implizite Funktionen und insbesondere nach Übung
IV.4.2.15 ist also die Restriktion dieser Projektion auf das Urbild des Komplements
von P eine n-blättrige Überlagerung
pr 1 : Z ↠ C\P