Analysis

242 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
X ∈ T als der Spezialfall n = 0. Gleichbedeutend dazu sind die beiden
Forderungen X ∈ T sowie U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T ;
2. U ⊂ T ⇒
U∈U U ∈ T und damit insbesondere auch ∅ ∈ T , da ja das
leere Mengensystem U = ∅ in jedem Mengensystem enthalten ist.
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge
mitsamt einer Topologie. Statt U ∈ T schreiben wir meist
U ⊂◦ X
und nennen U eine offene Teilmenge von X. Die Notation ⊂◦ ist jedoch
unüblich.
Definition 6.5.4. Seien X ein topologischer Raum und p ∈ X ein Punkt.
Eine Teilmenge U ⊂ X heißt eine Umgebung von p genau dann, wenn es
eine offene Menge V ⊂◦ X gibt mit p ∈ V ⊂ U.
Ergänzung 6.5.5. Seien X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge.
Eine Teilmenge U ⊂ X heißt eine Umgebung von A genau dann, wenn
es eine offene Menge V ⊂◦ X gibt mit A ⊂ V ⊂ U.
Definition 6.5.6. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen
heißt stetig im Punkt p ∈ X genau dann, wenn es für jede Umgebung
U von f(p) eine Umgebung U ′ von p gibt mit f(U ′ ) ⊂ U. Eine Abbildung
zwischen topologischen Räumen heißt stetig genau dann, wenn sie stetig ist
in jedem Punkt.
Übung 6.5.7. Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen zwischen
topologischen Räumen. Ist f stetig in p ∈ X und g stetig in f(p) ∈ Y , so ist
g ◦ f stetig in p. Hinweis: 6.2.15.
Beispiel 6.5.8. Für jeden metrischen Raum bildet das System seiner im Sinne
von 6.4.6 offenen Teilmengen eine Topologie, die metrische Topologie.
Wir fordern von einer Topologie nicht, daß ein beliebiger Schnitt offener
Mengen stets wieder offen sein soll: Sonst müßten ja in unserem Beispiel der
metrischen Räume alle einpunktigen Mengen offen sein, als Schnitte immer
kleinerer Bälle. Da nach 6.4.9 Bälle in metrischen Räumen stets offen sind,
ist in metrischen Räumen eine Umgebung eines Punktes im topologischen
Sinne 6.5.4 dasselbe wie eine Umgebung im metrischen Sinne 6.2.7. Insbesondere
ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen “topologisch stetig”
im Sinne der obigen Definition 6.5.6 genau dann, wenn sie “metrisch stetig”
ist im Sinne unserer Definition 6.2.10.