Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 957
der Dimension höchstens drei und sie muß surjektiv und folglich vermittels
eines Isomorphismus in den Notationen des vorhergehenden Beweises auf
LieC ZG(S)/S gehen. Unsere Unteralgebra ist offensichtlich auch stabil unter
der komplexen Konjugation, folglich schneidet sie Lie ZG(S) in einer Unteralgebra
g R α, die unter der Projektion isomorph auf Lie ZG(S)/S alias su(2)
abgebildet wird. Invertieren wir diesen Isomorphismus, so erhalten wir einen
Homomorphismus von Liealgebren
su(2) ↩→ Lie ZG(S)
mit Bild g R α, der sich nach 4.6.21 oder 15.1.2, die wir jedoch beide noch nicht
bewiesen haben, integrieren läßt zu einem Homomorphismus von Liegruppen
SU(2) → ZG(S)
Das Bild dieses Homomorphismus ist dann eine Untergruppe Gα mit den
gewünschten Eigenschaften. Deren Eindeutigkeit geht aus dem Beweis hervor.
Unser α ∨ entspricht in diesem Bild der von unserem Homomorphismus
induzierten Abbildung eines geeigneten maximalen Torus von SU(2) nach T .
Definition 6.4.24. Ein Automorphismus eines Vektorraums über einem
Körper einer von Zwei verschiedenen Charakteristik heißt eine Spiegelung
genau dann, wenn er eine Hyperebene punktweise festhält und einen Vektor
außerhalb dieser Spiegelebene auf sein Negatives wirft.
6.4.25. Seien G ⊃ T eine zusammenhängende kompakte Liegruppe mit einem
maximalen Torus. Die Weylgruppe W(G, T ) operiert auch auf dem reellen
Vektorraum Lie T . Die Spiegelung sα zu einer Wurzel α ∈ R(G, T ) hält darin
die Hyperenene ker(dα) punktweise fest und operiert folglich auch auf Lie T
als Spiegelung mit der Spiegelebene ker(dα). Die Zusammenhangskomponenten
des Komplements
Lie T \
ker(dα)
α∈R
der Vereinigung aller Spiegelebenen zu Spiegelungen sα heißen Alkoven und
die Menge aller Alkoven bezeichnen wir mit A ⊂ P(Lie T ). Sicher permutiert
die Weylgruppe W die Spiegelebenen ker(dα) ⊂ Lie T , folglich erhalten wir
auch eine Operation der Weylgruppe W auf der Menge A aller Alkoven.
Proposition 6.4.26. Gegeben G ⊃ T eine zusammenhängende kompakte
Liegruppe mit einem maximalen Torus gilt:
1. Die Weylgruppe W = W(G, T ) wird von den Spiegelungen sα zu Wurzeln
α ∈ R(G, T ) erzeugt;