Analysis

1. FUNKTIONENRÄUME UND FOURIERREIHEN 637
Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen fast überall definierte Abbildungen
von X nach Y. Wir notieren fast überall definierte Abbildungen auch
f : X Y. Wenn wir ganz besonders betonen wollen, daß eine Abbildung
oder Funktion im ursprünglichen Sinne zu verstehen ist, sprechen wir von
einer überall definierten Funktion.
1.2.5. Sicher wird eine solche Äquivalenzklasse schon dadurch festgelegt, daß
man fast überall die Werte eines Repräsentanten angibt. Die fast überall
definierten Funktionen f : X C können auch aufgefaßt werden als die
Elemente des Quotientenvektorraums Ens(X, C)/N , wo N die Menge aller
Abbildungen X → C bezeichnet, die fast überall verschwinden.
1.2.6. Den Begriff fast überall verwenden wir unglücklicherweise in zwei Bedeutungen:
Auf einem Maßraum X als Abkürzung für “die Ausnahmen bilden
eine Nullmenge”, auf einer beliebigen Menge X als Abkürzung für “die
Ausnahmen bilden eine endliche Menge”. Mir ist keine griffige Terminologie
eingefallen, die diese Unschärfe ausräumt. Ich kann nur hoffen, daß stets
aus dem Kontext erschlossen werden kann, welche Bedeutung im Einzelfall
gemeint ist.
1.2.7. Man kann reellwertige oder auch komplexwertige fast überall definierte
Funktionen addieren und multiplizieren, man darf beim Rechnen mit fast
überall definierten Funktionen sogar auch dann noch den Quotienten f/g
bilden, falls g nur fast überall von Null verschieden ist. Es ist sinnvoll, von
einer Folge fast überall definierter Funktionen zu sagen, daß sie fast überall
punktweise gegen eine weitere fast überall definierte Funktion konvergiert.
Man kann die Verknüpfung g ◦ f einer fast überall definierten Funktion f
mit einer überall definierten Funktion g bilden und erhält so wieder eine fast
überall definierte Funktion. Eine reellwertige fast überall definierte Funktion
heißt meßbar bzw. integrierbar bzw. quadratintegrierbar genau dann,
wenn sie einen meßbaren bzw. integrierbaren bzw. quadratintegrierbaren Repräsentanten
hat. Ist unser Maßraum nicht vollständig, so wird eine meßbare
fast überall definierte Funktion durchaus auch nicht-meßbare Repräsentanten
haben. Auch mit unserer Konvention, integrierbar im Sinne von IV.6.5.1 als
“meßbar und integrierbar” zu verstehen, wird für eine integrierbare fast überall
definierte Funktion jedoch das Integral nicht vom gewählten integrierbaren
Repräsentanten abhängen, so daß jeder integrierbaren fast überall definierten
Funktion sinnvoll ihr Integral zugeordnet werden kann. Nicht sinnvoll ist
das Auswerten einer fast überall definierten Funktion an einem Punkt, es sei
denn, der fragliche Punkt habe positives Maß.
Definition 1.2.8. Sei (X, M, µ) ein Maßraum. Eine integrierbare fast überall
definierte Funktion auf X heißt eine L 1 -Funktion auf X. Eine quadratintegrierbare
fast überall definierte Funktion auf X heißt eine L 2 -Funktion