Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1135
Beispiel 13.5.7. Ist andererseits i ein Isomorphismus Lie K ∼ → g, so ist das
Vergessen der g-Operation eine Äquivalenz (g, K) -Mod ∼ → K -Mod zwischen
der Kategorie der (g, K)-Moduln und der Kategorie aller rationalen Darstellungen
von K.
Definition 13.5.8. Ein Morphismus von Lie-Paaren ϕ : (h, L) → (g, K)
ist ein Paar bestehend aus einem Morphismus ϕ : h → g von Lie-Algebren
und einem Morphismus ϕ : L → K von algebraischen Gruppen derart, daß
die beiden Diagramme
L × h → h Lie L ↩→ h
↓ ↓ ↓ ↓
K × g → g Lie K ↩→ g
kommutieren. Gegeben ein Morphismus von Lie-Paaren ϕ : (h, L) → (g, K)
haben wir offensichtlich einen Restriktionsfunktor
res h,L
g,K : (g, K) -Mod → (h, L) -Mod
Satz 13.5.9. Gegeben ein Morphismus von Lie-Paaren ϕ : (h, L) → (g, K)
besitzt der zugehörige Restriktionsfunktor einen Rechtsadjungierten, die sogenannte
Induktion
ind g,K
h,L
: (h, L) -Mod → (g, K) -Mod
Bemerkung 13.5.10. In der Literatur wird dieser Funktor auch oft die Koinduktion
genannt und prod notiert. Ich will jedoch ganz strikt den Rechtsadjungierten
eines Restriktionsfunktors Induktion nennen und den Linksadjungierten,
den es etwas seltener gibt, die Koinduktion oder Produktion.
Beweis. Offensichtlich können wir jeden Morphismus von Lie-Paaren zerlegen
als
(h, L) → (g, L) → (g, K)
Es reicht also, das Theorem in den Fällen K = L und h = g zu zeigen. Sei also
M ∈ (h, L) -Mod . Auf ind g
h M = HomU(h)(U(g), M) mit der offensichtlichen
M → indg h M schon mal L(C)äquivariant.
Im Teilraum AlgL(ind g
h M) aller L-algebraischen Vektoren bilden
wir dann den Teilraum aller Vektoren, für die auch die zweite Bedingung
von 13.5.4 erfüllt ist, auf denen also die von der L-Operation herrührende
Operation von Lie L verträglich ist vermittels i mit der offensichtlichen g-
Operation, und das ist unser gesuchtes
Operation von L(C) ist die Operation g×ind g
h
ind g,L
h,L M ⊂ AlgL(ind g
h M) ⊂ indg h M