Analysis

3. WEGINTEGRALE 411
kann man Wegintegrale von Vektorfeldern v bilden, wann immer ein Skalarprodukt
oder allgemeiner ein ausgezeichneter 2-Tensor g zur Verfügung
steht, indem wir eben zu unserem Vektorfeld das Kovektorfeld ω = can 1 g(v)
oder auch ω = can 2 g(v) bilden und diese Kovektorfelder dann integrieren wie
in 3.3.1 erklärt. Ohne einen ausgezeichneten 2-Tensor gelingt es eben nicht,
zwei Vektoren in natürlicher Weise zu paaren: Das gelingt ohne zusätzliche
Wahlen in natürlicher Weise nur für einen Vektor und einen Kovektor.
Ergänzung 3.3.7. Redet man für X = R 2 vom Fluß eines Vektorfelds
v = (v1, v2) : A → R 2 durch einen Weg, so ist das Integral über das
Kovektorfeld ω = v1 dy − v2 dx gemeint. Dies Kovektorfeld kann alternativ
auch beschrieben werden durch die Formel ωp(u) = det(v(p)|u), in der unsere
Vektoren v(p) und u als Spaltenvektoren aufzufassen sind.
3.3.8. In der Literatur scheint mir eine gewisse Verwirrung zu herrschen was
die Begriffe “Wegintegral” und “Kurvenintegral” angeht. Die hier gewählte
Terminologie soll zum Ausdruck bringen, daß für einen injektiven stetig differenzierbaren
Weg γ : [a, b] → R n unser Kurvenintegral nur von der Bildmenge
γ([a, b]) ⊂ R n abhängt, die wir im Sinne unserer Definition 7.7.2 eine “Kurve”werden
nennen dürfen. Unser Wegintegral dahingegen hängt auch von der
“durch den Weg γ gegebenen Richtung auf unserer Kurve” ab und ändert sein
Vorzeichen, wenn wir die Kurve “in der umgekehrten Richtung durchlaufen”.
Andererseits bleibt das Wegintegral unverändert selbst bei nicht notwendig
monotoner “Neuparametrisierung”, wenn diese nur den Anfang bzw. das Ende
des neuen Parameterintervalls auf den Anfang bzw. das Ende des Alten
wirft, siehe 3.3.11. Das Kurvenintegral dahingegen ändert sich bei derartigen
Neuparametrisierungen im allgemeinen sehr wohl.
Satz 3.3.9 (Transformation von Wegintegralen). Seien X und Y endlichdimensionale
reelle Räume, A bzw. B darin halboffene Teilmengen und
φ : A → B stetig differenzierbar. Ist γ : [a, b] → A ein stetig differenzierbarer
Weg in A und ω ein stetiges Kovektorfeld auf B, so gilt
φ ∗
ω = ω
γ
3.3.10. Zwei Wege γ : I → A und κ : J → B heißen φ-verwandt und wir
schreiben φ : γ ❀ κ genau dann, wenn gilt κ = φ ◦ γ, als da heißt, wenn sie
denselben Definitionsbereich I = J haben und für alle t ∈ I gilt
φ◦γ
κ(t) = φ(γ(t))
Sicher hat jeder Weg γ in A genau einen Verwandten, nämlich den Weg φ◦γ.
Der Inhalt des Satzes läßt sich mit diesen Begriffsbildungen dahingehend