Analysis

356 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
mit Funktionen fj : U → R, so hat die darstellende Matrix der linearen
Abbildung dpf die Gestalt
⎛
⎜
[dpf] = ⎜
⎝
∂f1 (p) ∂x1
. . .
∂f1
∂xn (p)
·
⎞
· ⎟
· ⎟
· ⎠
(p) . . .
∂fm
∂x1
∂fm
∂xn (p)
Diese Matrix heißt die Jacobi-Matrix unserer Abbildung. Wir denken uns
in diesem Zusammenhang Vektoren stets als Spaltenvektoren und hätten etwas
pedantisch wohl auch besser f = (f1, . . . , fm) ⊤ schreiben sollen, um das
nocheinmal zu betonen. Für die Jacobi-Matrix findet man häufig auch die
Notation
∂(f1, . . . , fm)
∂(x1, . . . , xn)
In der Literatur werden unsere differenzierbaren Abbildungen vielfach total
differenzierbar genannt, um sie abzugrenzen von den partiell differenzierbaren
Abbildungen, bei denen nur die Existenz aller partiellen Ableitungen
gefordert wird. Unser Differential heißt in manchen Quellen auch das
totale Differential. Wenn Ihnen die Identifikation von Matrizen mit linearen
Abbildungen R m → R n aus ?? und ?? einmal richtig in Fleisch und Blut
übergegangen ist, werden Sie sich auch nicht daran stören, wenn wir einmal
mit dpf sowohl das Differential als auch die Jacobi-Matrix bezeichnen sollten,
was leicht einmal vorkommen kann.
1.2.7. Im Spezialfall einer reellwertigen Abbildung f : U → R, die auf ei-
ner offenen Teilmenge U ⊂◦ R n definiert ist, ist die Jacobi-Matrix also eine
Zeilenmatrix
∂f
[dpf] = (p), . . . ,
∂x1
∂f
(p)
∂xn
und kann auch als die “Transponierte des Gradienten” verstanden werden,
der ja als Vektor in unseren Konventionen a priori als eine Spaltenmatrix
aufzufassen ist. Im Fall des Rn kann eben der Dualraum in natürlicher Weise
mit dem Raum selber identifiziert werden, so daß wir die Linearform dpf
auch als einen Vektor auffassen können und die Zuordnung p ↦→ dpf auch
als das Vektorfeld, das wir bereits in 1.1.6 als Gradientenfeld kennengelernt
haben. Im Fall eines abstrakten endlichdimensionalen reellen Vektorraums V
und einer reellwertigen Abbildung f : U → R, die auf einer offenen Teilmenge
U ⊂◦ V definiert ist, geht das jedoch nicht mehr. Die Zuordnung p ↦→ dpf ist
dann zwar, unter den entsprechenden Differenzierbarkeitsannahmen, immer
noch eine sinnvoll definierte Abbildung U → V ∗ von U in den Dualraum von
V, eben das Differential unserer Abbildung f. Diese Abbildung kann aber