Analysis

354 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
ihn ab mit (Dvf)(p). Das D steht hier für englisch directional derivative.
Anschaulich mißt diese Richtungsableitung im Fall Y = R, wie schnell unsere
Funktion wächst bzw. abnimmt, wenn wir von p aus in der Richtung v gehen.
Es gilt allerdings zu beachten, daß unsere Richtungsableitung keineswegs nur
von der Richtung des Vektors v abhängt, sondern durchaus auch von seiner
Länge. Die lineare Abbildung L selbst heißt das Differential von f bei p
und wird bezeichnet mit
L = dpf
Es mag dem Verständnis helfen, statt h das Symbol δp zu verwenden. Dann
liest sich unsere Definition des Differentials
f(p + δp) = f(p) + (dpf)(δp) + δpε(δp)
1.2.4. Sind X, Y bereits selbst normierte Vektorräume, so benutzt man in
diesem Zusammenhang meist die kanonischen Identifikationen X ∼ → X und
Y ∼ → Y um unser Differential an einer Stelle p schlicht als eine lineare Abbildung
dpf : X → Y aufzufassen.
Beispiel 1.2.5. Für f : R n → R oder allgemeiner f : R n → R m differenzierbar
existieren insbesondere unsere partiellen Ableitungen und sind gerade die
Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren ei, in Formeln
∂f
(p) = (Dei
∂xi
f)(p)
Dasselbe gilt auch, wenn f nur auf einer offenen Teilmenge von R n definiert
ist. Umgekehrt werden wir in 1.5.1 zeigen, wie man aus der Existenz und
Stetigkeit der partiellen Ableitungen die Existenz des Differentials folgern
kann.
1.2.6. Wenn das Differential dpf existiert, so existieren insbesondere auch
alle Richtungsableitungen und es gilt
(Dvf)(p) = (dpf)(v)
für alle v ∈ X. Nennen wir eine Abbildung einfach nur differenzierbar,
so ist die Differenzierbarkeit an jeder Stelle gemeint. Die Ableitung oder
genauer das Differential einer differenzierbaren Abbildung f : U → R m für
U ⊂◦ R n ist aber nun eine Abbildung U → Hom(R n , R m ), p ↦→ dpf. Für
jede fest vorgegebene Stelle p ∈ U ist weiter die darstellende Matrix des
Differentials dpf : R n → R m nach ?? die Matrix mit den Spaltenvektoren
(dpf)(ei) = ∂f
∂xi (p). Hat unsere Abbildung also die Gestalt f = (f1, . . . , fm)