Analysis

578 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
ein Skalarprodukt, so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit
2-Formen, indem wir jedem Vektor u die 2-Form (v, w) ↦→ vol(u, v, w) zuordnen,
mit vol(u, v, w) dem “Volumen” des Parallelogramms mit Kanten u, v, w
und einem Vorzeichen, das von der “Orientierung” unseres Tripels abhängt.
Ähnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit 3-
Formen. Die Möglichkeit dieser Identifikationen mag ein Grund dafür sein,
daß Differentialformen zumindest meiner Intuition schwer zugänglich sind.
Es fällt uns einfach nicht zu, einen dreidimensionalen ohne Skalarprodukt
zu visualisieren, geschweige denn Räume höherer Dimensionen: Das beste
Beispiel für eine 2-Form wäre dann nämlich, nach Wahl der dazu nötigen
physikalischen Einheiten, das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit.
Definition 7.2.6. Für zwei Differentialformen ω ∈ Ω p und η ∈ Ω q definieren
wir ihr Dachprodukt ω ∧ η ∈ Ω p+q als punktweises Dachprodukt im Sinne
von 7.1.8, in Formeln (ω ∧ η)x = ωx ∧ ηx. Für f ∈ Ω 0 eine Funktion schreiben
wir meist fη statt f ∧ η.
7.2.7. Ist speziell X = Rn und sind xi : Rn → R die Koordinatenfunktionen,
so läßt sich für U ⊂ X nach 7.1.6 jede p-Form ω ∈ Ω p
X (U) eindeutig schreiben
in der Gestalt
ω =
aI dxI
|I|=p
Hier läuft die Summe wie angedeutet über alle p-elementigen Teilmengen
I ⊂ {1, . . . , n}, die Koeffizienten aI sind reelle Funktionen auf U, und dxI
ist ähnlich wie in 7.1.1 eine Abkürzung für dxI = dxi1 ∧ . . . ∧ dxip mit
i1 < . . . < ip den der Größe nach geordneten Elementen von I. Diese Notation
ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, denn natürlich ist dxI für |I| = 1 in
keinster Weise das Differential einer wie auch immer gearteten Funktion xI.
Das Dachprodukt zweier in dieser Standarddarstellung gegebenen Formen
ergibt sich dann leicht mittels der Regeln dxi ∧ dxi = 0 und dxi ∧ dxj =
− dxj ∧ dxi.
7.2.8. Die 2-Form dx ∧ dy auf dem R 3 kann man sich veranschaulichen als
Vorschrift, die “jeder kleinen orientierten Parallelogrammfläche den Flächeninhalt
ihrer orthogonalen Projektion auf die (x, y)-Ebene zuordnet, mit einem
von der Orientierung abhängigen Vorzeichen”.
Definition 7.2.9. Gegeben endlichdimensionale reelle Räume X, Y und eine
stetig differenzierbare Abbildung φ : A → Y auf einer halboffenen Teilmenge
A ⊂ X definieren wir das Zurückholen von Differentialformen, eine
R-lineare Abbildung φ ∗ : Ω p
Y (φ(A)) → Ωp (A), durch die Vorschrift
(φ ∗ ω)x = (dxφ) ⊤ (ωφ(x))