Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1283
Es bleibt nur, Injektivität und Surjektivität des Auswertens zu zeigen. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir dazu t0 = 0 annehmen. Falls I
nicht offen ist, wählen wir eine lokal lipschitzstetige Fortsetzung von M auf
eine offenes Intervall J ⊃ I. Nun erfüllt γ : I → V nach IV.5.1.19 unsere
Differentialgleichung genau dann, wenn (id, γ) : I → J ×V eine Integralkurve
des Vektorfelds (z, v) ↦→ (1, M(z)v) auf J × V ist. Dies Vektorfeld ist lokal
lipschitzstetig, also besitzt es nach IV.5.2.6 zu jedem Anfangswert höchstens
eine auf I definierte Integralkurve, und das zeigt die Injektivität. Für den
Beweis der Surjektivität reicht es zu zeigen, daß jede maximale Integralkurve
des Vektorfelds (z, v) ↦→ (1, M(z)v) mit Anfangswert (0, v0) auf ganz J
definiert ist. Sicher reicht es zu zeigen, daß sie bis zum oberen Ende von J definiert
ist. Sonst gäbe es aber b ∈ J derart, daß die Lösung nicht in positiver
Richtung über [0, b) hinaus definiert werden könnte, und mit IV.5.2.6 folgt,
daß γ : [0, b) → V unbeschränkt wäre. Nun gibt es jedoch L mit M(t) ≤ L
für alle t ∈ [0, b] und es folgt
γ(t) =
v0
t
+ M(τ)γ(τ) dτ
≤ v0
t
+ L γ(τ) dτ
0
und dann dem Lemma von Gronwall IV.5.3.3 sofort γ(t) ≤ v0 e Lt und
das wäre doch beschränkt, nämlich durch v0 e Lb .
Lemma 4.2.8 (Gronwall). Ist b ∈ R≥0 und f : [0, b] → [0, ∞) stetig und
gibt es nichtnegative Konstanten L, C mit
f(t) ≤ L
t
0
f(τ) dτ + C
für alle t ≥ 0, so erfüllt f die Abschätzung f(t) ≤ C e Lt .
4.2.9. Es scheint mir von der Anschauung her ziemlich klar, daß eine differenzierbare
Funktion f mit der Eigenschaft f ′ ≤ f höchstens exponentiell
wachsen kann. Das Lemma von Gronwall präzisiert und verallgemeinert diese
Intuition.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir L und C positiv
annehmen. Bezeichnet F (t) den Wert des obigen Integrals, so folgern wir erst
F ′ (t)
LF (t) + C
und dann durch Integrieren von 0 bis t mithilfe der Substitutionsregel weiter
L −1 log(LF (t) + C) − L −1 log C ≤ t alias log(LF (t) + C) ≤ Lt + log C und
durch Exponentieren und das Erinnern unserer Voraussetzungen schließlich
≤ 1
f(t) ≤ LF (t) + C ≤ C e Lt
0