Analysis

252 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Proposition 6.7.10. Unter einer stetigen Abbildung metrischer Räume werden
Kompakta stets auf Kompakta abgebildet.
Beweis. Sei f : X → Y unsere stetige Abbildung und A ⊂ X ein Kompaktum.
Ist yn eine Folge in f(A), so finden wir eine Folge xn in A mit f(xn) = yn.
Falls A kompakt ist, besitzt die Folge xn eine Teilfolge xnk , die gegen einen
Punkt x ∈ A konvergiert. Dann ist ynk nach 6.3.9 eine Teilfolge der Folge yn,
die gegen einen Punkt von f(A) konvergiert, nämlich gegen f(x).
Korollar 6.7.11. Jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten
metrischen Raum ist beschränkt und nimmt, wenn unser Raum nicht leer
ist, das Supremum und das Infimum der Menge ihrer Funktionswerte an.
6.7.12. Ist also in Formeln X ein nichtleerer kompakter Raum und f : X → R
stetig, so gibt es p, q ∈ X mit f(p) ≤ f(x) ≤ f(q) ∀x ∈ X.
Beweis. Nach 6.7.10 ist f(X) ⊂ R kompakt, also beschränkt und abgeschlossen.
Aus X = ∅ folgt weiter f(X) = ∅. Damit besitzt f(X) ein Supremum
und Infimum in R. Da f(X) kompakt, also abgeschlossen ist, folgt
sup f(X) ∈ f(X) und inf f(X) ∈ f(X). Es gibt in anderen Worten p, q ∈ X
mit sup f(X) = f(p) und inf f(X) = f(q).
Definition 6.7.13. Eine stetige Abbildung von metrischen Räumen heißt
gleichmäßig stetig genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt
derart, daß gilt
d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε
Satz 6.7.14 (Gleichmäßige Stetigkeit auf Kompakta). Jede stetige Abbildung
von einem kompakten metrischen Raum in einen weiteren metrischen
Raum ist gleichmäßig stetig.
Beweis. Mutatis mutandis zeigt das der Beweis von Satz 3.4.11.
Ergänzende Übung 6.7.15. Ist in einem metrischen Raum eine abzählbare Familie
kompakter Teilmengen (Kn)n∈N gegeben mit leerem Schnitt
n∈N Kn =
∅, so gibt es schon ein N mit K0 ∩ . . . ∩ KN = ∅. Das wird verallgemeinert
auf den Fall beliebiger Familien in 6.10.8.
Ergänzende Übung 6.7.16. Sei (X, d) ein metrischer Raum, K ⊂ X kompakt
und A ⊂ X abgeschlossen mit A ∩ K = ∅. So gibt es δ > 0 mit d(x, y) ≥ δ
für alle x ∈ A, y ∈ K.
Ergänzende Übung 6.7.17. Man zeige, daß man auf dem Raum Ens(N, {W, Z})
aller Folgen in der zweielementigen Menge {W, Z} eine Metrik erklären kann
durch die Vorschrift d(ω, η) = 2 −n für n ∈ N die kleinste Zahl mit ω(n) =