Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 763
Beispiel 1.1.7. Gegeben eine Gruppe G und eine G-Menge X und ein Körper
k wird der Raum der Funktionen V = Ens(X, k) eine Darstellung von G
vermittels der Vorschrift
(gf)(x) := f(g −1 x) ∀g ∈ G, x ∈ X
Zum Beispiel operiert die Drehgruppe SO(3) auf der Kugelschale S 2 , und
damit wird der Raum Ens(S 2 , R) aller reellwertigen Funktionen auf der Kugelschale
eine reelle Darstellung der Drehgruppe.
Beispiel 1.1.8. Eine Darstellung (V, ρ) der Gruppe Z anzugeben bedeutet
nach I.3.3.11 nichts anderes, als einen Automorphismus A ∈ GL(V ) des Vektorraums
V anzugeben, nämlich den Automorphismus A = ρ(1). Die zugehörige
Darstellung wird dann gegeben durch den Gruppenhomomorphismus
ρA : Z → GL(V ) mit n ↦→ A n .
Definition 1.1.9. Seien V, W Darstellungen einer Gruppe G über einem
festen Körper k. Ein Homomorphismus von Darstellungen oder Verflechtungsoperator
oder englisch intertwining operator ist eine k-lineare
Abbildung f : V → W derart, daß gilt
f(gv) = gf(v) ∀v ∈ V, g ∈ G
Ein Isomorphismus von Darstellungen ist ein bijektiver Homomorphismus.
Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Darstellungen V und W ,
so schreiben wir auch V ∼ = W und sagen, V und W seien isomorph.
Ergänzung 1.1.10. Zusammenfassend haben wir so für jede Gruppe G und
jeden Körper k eine Kategorie Mod G
k konstruiert, die“Kategorie aller Darstellungen
der Gruppe G über dem Körper k”. Im Rahmen der Kategorientheorie
können wir diese Kategorie auch beschreiben als die Kategorie
Mod G
k = Cat([G], Modk)
im Sinne von ?? aller Funktoren von der Ein-Objekt-Kategorie [G] aus ?? in
die Kategorie Modk aller k-Vektorräume.
Beispiel 1.1.11. Sind (V, A) und (W, B) Vektorräume mit Automorphismus,
so ist ein Homomorphismus der zughörigen Darstellungen (V, ρA) und (W, ρB)
der Gruppe Z eine lineare Abbildung f : V → W derart, daß das Diagramm
V
A
V
f
f
W
B
W
kommutiert. In der Tat folgt aus fA = Bf nämlich fA n = B n f für alle
n ∈ Z.