Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1041
Beweis. Das gilt sowohl für Matrixkoeffizienten reeller Darstellungen und
Polynome mit reellen Koeffizienten wie für Matrixkoeffizienten komplexer
Darstellungen und Polynome mit komplexen Koeffizienten. Beide Fälle sind
offensichtlich äquivalent und wir konzentrieren uns der Einfachkeit halber
auf den komplexen Fall. Die fraglichen Restriktionen liegen dicht in C(G)
nach Stone-Weierstraß III.3.2.13 und sie bilden offensichtlich einen Teilraum
im Raum aller komplexen Matrixkoeffizienten von G, der stabil ist unter
Rechts- und Linkstranslation. Dieser Teilraum ist also eine Summe von Räumen
von Matrixkoeffizienten einfacher Darstellungen, und würde hier eine
einfache Darstellung fehlen, so könnte unser Teilraum wegen der Orthogonalitätsrelationen
10.4.3 nicht dicht sein.
Beispiel 10.4.5. Für G = S 1 erhalten wir als Spezialfall die Sätze ?? aus der
Theorie der Fouriereihen.
Satz 10.4.6 (Orthonormalitätsrelationen für Charaktere). Die irreduziblen
Charaktere einer kompakten Matrix-Liegruppe liegen in Bezug auf
die sup-Norm dicht im Raum der stetigen Klassenfunktionen und bilden eine
Hilbertbasis des Raums der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen.
Beweis. Die Abbildung P : C(G) → C(G) mit (P f)(x) = f(g −1 xg)dg
ist eine Projektion auf den Raum der Klassenfunktionen und ist stetig für
die sup-Norm. Folglich liegen die Projektionen der Matrixkoeffizienten dicht
im Raum der Klassenfunktionen. Die Projektion eines Matrixkoeffizienten
einer irreduziblen Darstellung ist jedoch ein Vielfaches ihres Charakters. Noch
vervollständigen
10.5 Matrixkoeffizienten
10.5.1. Wir erinnern an ??: Ist V eine Darstellung einer Gruppe G über
einem Körper k, so definiert man ganz allgemein für v ∈ V , ϕ ∈ V ∗ den
Matrixkoeffizienten cϕ,v : G → k durch die Vorschrift cϕ,v(g) = ϕ(gv). Die
Matrixkoeffizienten definieren eine Abbildung, die Matrixkoeffizientenabbildung
V ∗ ⊗k V → Ens(G, k)
ϕ ⊗ v ↦→ cϕ,v
10.5.2. Jede Gruppe G trägt eine natürliche Operation der Gruppe G×G vermittels
der Vorschrift (x, y)z = xzy −1 . Diese Operation spezialisiert zu drei
Operationen von G auf sich selbst durch Linksmultiplikation, durch Rechtsmultiplikation
mit dem Inversen und durch Konjugation. Gegeben eine Menge
E erhalten wir so auch eine Operation von G × G auf Ens(G, E) durch
die Vorschrift ((x, y)f)(z) = f(x −1 zy), die spezialisiert zu drei Operationen