Analysis

1288 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Bemerkung 4.5.3. Wir nennen die in 4.5.2 charakterisierte Erweiterung eines
Prämaßes zu einem Maß seine kanonische Erweiterung. Der Beweis zeigt,
daß sie beschrieben werden kann durch die Formel
∞
µ(M) = inf µ(An)
wo das Infimum gebildet wird über alle Folgen in A mit M ⊂ An.
Beweis. Der Existenzbeweis wurde beim Beweis von IV.6.2.10 bereits mit
gegeben, es gilt nur bei IV.6.2.23 zu erinnern, daß das Infimum der leeren
Menge ∞ ist. Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit. Sei dazu ν eine zweite
Erweiterung. Es gilt zu zeigen µ(Y ) = ν(Y ) für alle Y ∈ M, die sich durch
eine Folge von Mengen endlichen Maßes aus A überdecken lassen. Aber sei
(Sn) eine Folge in A mit Sn ⊃ Y und µ(Sn) < ∞ ∀n. Wir dürfen ohne
Beschränkung der Allgemeinheit annehmen Sn ⊂ Sn+1 ⊂ . . . , und müssen
nur für alle n die Gleichungen
n=0
µ(Y ∩ Sn) = ν(Y ∩ Sn)
zeigen, dann ergibt sich µ(Y ) = ν(Y ) im Grenzwert n → ∞. Nach der
Definition von µ gilt offensichtlich ν(Y ∩ Sn) ≤ µ(Y ∩ Sn), aber ganz genauso
auch ν(Y c ∩ Sn) ≤ µ(Y c ∩ Sn), und da die Summe dieser Ungleichungen die
Gleichung ν(Sn) = µ(Sn) liefert, müssen unsere Ungleichungen beide schon
Gleichungen gewesen sein.
Bemerkung 4.5.4. Jede integrierbare Funktion verschwindet außerhalb einer
σ-endlichen Menge. In der Tat müssen bei integrierbarem f die Urbilder der
Intervalle [1/n, ∞) und (−∞, −1/n] alle endliches Maß haben.
Satz 4.5.5. Gegeben Maßräume (X, M, µ) und (Y, N , ν) gibt es auf der
Produkt-σ-Algebra genau ein Maß µ ⊗ ν, das Produktmaß, derart daß (1)
für alle A ∈ M und B ∈ N von endlichem Maß gilt
(µ ⊗ ν)(A × B) = µ(A)ν(B)
und daß (2) allen denjenigen Mengen aus M ⊗ N , die sich nicht durch
eine abzählbare Vereinigung von Produkten von Mengen endlichen Maßes
überdecken lassen, das Maß Unendlich zugeordnet wird.
Bemerkung 4.5.6. Im Fall µ(A) = ∞ und ν(B) = 0 gilt für das so erklärte
Produktmaß nur dann (µ⊗ν)(A×B) = 0, wenn A als abzählbare Vereinigung
von Mengen endlichen Maßes geschrieben werden kann oder wenn B die leere