Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 281
7.4.5. Im Vorgriff auf ?? erkläre ich bereits hier für Vektoren v, w ∈ R n
ihr Skalarprodukt 〈v, w〉 ∈ R durch 〈v, w〉 = v1w1 + . . . + vnwn für v =
(v1, . . . , vn) und w = (w1, . . . , wn). Die anschauliche Bedeutung wird in ??
erläutert. Offensichtlich gilt v 2 = 〈v, v〉 für die euklidische Norm im Sinne
von 6.9.7, und jedenfalls im R 2 gilt 〈v, w〉 = 0 offensichtlich genau dann,
wenn v und w anschaulich aufeinander senkrecht stehen oder einer der beiden
Vektoren Null ist.
Beweis von 7.4.1. Wir zeigen hier nur, daß eine stetig differenzierbare Abbildung
γ : R → R 2 die Bedingungen des Satzes erfüllt genau dann, wenn
gilt
γ(0) = (1, 0), γ ′ 1 = −γ2 und γ ′ 2 = γ1.
Damit folgt unser Satz 7.4.1 dann aus dem allgemeinen Satz 7.4.9, den
wir im Anschluß beweisen. Zunächst ist für eine differenzierbare Abbildung
γ : R → R n die Länge γ(t) des Ortsvektors konstant genau dann, wenn
ihr Quadrat 〈γ(t), γ(t)〉 konstant ist genau dann, wenn dessen Ableitung
2〈γ(t), γ ′ (t)〉 verschwindet genau dann, wenn zu jedem Zeitpunkt t der Geschwindigkeitsvektor
γ ′ (t) senkrecht steht auf dem Ortsvektor γ(t). Die einzigen
auf (a, b) ∈ R 2 senkrechten Vektoren derselben Länge wie (a, b) sind nun
aber (−b, a) und (b, −a). Für eine differenzierbare Abbildung γ : R → R 2
sind also γ(t) und γ ′ (t) konstant von derselben Länge genau dann, wenn
zu jedem Zeitpunkt t gilt γ ′ (t) = ±(−γ2(t), γ1(t)), wobei das Vorzeichen im
Prinzip noch von t abhängen kann. Fordern wir allerdings die Stetigkeit der
Ableitung, so muß dieses Vorzeichen konstant sein, und unter der zusätzlichen
Bedingung γ(0) = (1, 0) ist unser Vorzeichen ein + genau dann, wenn
gilt γ ′ 2(0) > 0.
7.4.6. Man kann die Bedingungen γ ′ 1 = −γ2 und γ ′ 2 = γ1 zusammenfassen
zur Matrix-Gleichung
γ ′ 1
γ ′ 2
=
0 −1
1 0
γ1
Wir zeigen nun ganz allgemein, wie man Systeme von Differentialgleichungen
dieser Art löst. Genauer bestimmen wir für eine gegebene quadratische
Matrix M ∈ M(n × n; R) alle differenzierbaren Abbildungen γ : R → R n mit
γ2
γ ′ (t) = Mγ(t) ∀t ∈ R
Bei dieser Schreibweise fassen wir implizit die Elemente des R n als Spaltenvektoren
auf, also γ = (γ1, . . . , γn) ⊤ , wo der obere Index ⊤ unsere Zeilenmatrix
in eine Spaltenmatrix transponiert. Man nennt so eine Gleichung