Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 939
hat, also nicht nur aus einem Punkt besteht. Unter diesen Voraussetzungen
behaupten wir nun zunächst
g(T \Z)g −1 = G\Z (∗)
g∈G
Haben wir das gezeigt, so gehen wir auf beiden Seiten zum Abschluß in G
über. Der Abschluß der rechten Seite ist sicher G. Der Abschluß von T \Z ist
T , da in einer kompakten Gruppe positiver Dimension auch jeder maximale
Torus positive Dimension haben muß, was man etwa daran erkennt, daß der
Abschluß des Bildes jeder Einparameteruntergruppe ein Torus ist. Der Abschluß
der linken Seite umfaßt also
g∈G gT g−1 , aber er muß sogar mit dieser
Vereinigung zusammenfallen, da sie abgeschlossen ist als Bild einer stetigen
Abbildung von einem Kompaktum in einen Hausdorffraum G × T → G. Es
reicht also, wenn wir aus der Induktionsvoraussetzung unsere Behauptung
(∗) folgern unter der zusätzlichen Annahme, daß G endliches Zentrum hat
und nicht nur aus einem Punkt besteht. Nach 4.10.1 hat dann G mindestens
die Dimension zwei, und insbesondere ist nach 3.2.14 mit G auch G\Z
zusammenhängend. Es reicht also, wenn wir zeigen, daß
g(T \Z)g −1
g∈G
sowohl offen als auch abgeschlossen ist in G\Z. Daß es abgeschlossen ist in
G\Z folgt aus der Identität
g(T \Z)g −1
= gT g −1
\Z
g∈G
zusammen mit unserer Erkenntnis, daß die Vereinigung auf der rechten Seite
abgeschlossen ist in G. Um zu zeigen, daß es auch offen ist, müssen wir nur
für jeden Punkt t ∈ T \Z nachweisen, daß eine ganze Umgebung von t zu
g∈G g(T \Z)g−1 gehört. Da t nicht im Zentrum von G liegt, dürfen wir auf
die Einszusammenhangskomponente seines Zentralisators K := ZG(t) ◦ die
Induktionsvoraussetzung anwenden und finden erst K =
g∈K gT g−1 und
als Folgerung dann auch K\Z =
g∈K g(T \Z)g−1 . Nun betrachten wir die
Abbildung
G × (K\Z) → G
(g , k) ↦→ gkg −1
und sind fertig mit dem Umkehrsatz, wenn wir nur zeigen können, daß sie
an der Stelle (1, t) surjektives Differential hat. Gleichbedeutend können wir
g∈G