Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 527
mit Logarithmentafeln die Seiten mit den Logarithmen zu kleinen Anfangsziffern
am Rand viel schwärzer sind als die Seiten mit den Logarithmen zu
großen Anfangsziffern. Benford’s Gesetz wird unter anderem eingesetzt, um
Steuerbetrug zu entlarven, da von Menschen willkürlich hingeschriebene Zahlenreihen
typischerweise eine andere Verteilung von Anfangsziffern haben.
Ergänzende Übung 6.2.30 (Gleichverteilung im Folgenraum). Man zeige:
Auf dem Raum Ens(N, {W, Z}) aller Folgen in der zweielementigen Menge
{W, Z} mit der in II.6.7.17 erklärten Metrik gibt es genau ein Borelmaß,
das für jeden n-gliedrigen Folgenanfang der Menge aller Folgen mit diesem
Anfang das Maß 2 −n zuordnet. Man zeige weiter, daß die durch die dyadische
Entwicklung gegebene Surjektion Ens(N, {W, Z}) ↠ [0, 1] stetig ist und
daß hier das Maß des Urbilds einer Borelmenge gerade das Lebesguemaß der
ursprünglichen Menge ist. Hinweis: Man mag eine Teilmenge unseres Folgenraums
“n-vernünftig” nennen genau dann, wenn sie mit einer Folge auch alle
anderen Folgen enthält, die sich von dieser frühestens im n-ten Folgenglied
unterscheiden. Man mag eine Teilmenge unseres Folgenraums “vernünftig”
nennen genau dann, wenn sie n-vernünftig ist für mindestens ein n. Man
mag von der Erkenntnis ausgehen, daß die vernünftigen Teilmengen einen
Mengenring bilden, und verwenden, daß alle vernünftigen Teilmengen sowohl
offen als auch abgeschlossen und damit nach II.6.7.17 kompakt sind.
Jede Überdeckung einer vernünftigen Teilmenge durch vernünftige Teilmengen
besitzt folglich eine endliche Teilüberdeckung.
Ergänzende Übung 6.2.31. Wir betrachten die Cantor-Menge C, die aus
dem Einheitsintervall C0 = [0, 1] entsteht, indem wir das mittlere Drittel
(1/3, 2/3) herausnehmen, dann aus den beiden so entstehenden kompakten
Intervallen wieder jeweils das offene mittlere Drittel und so weiter, und
schließlich als C den Schnitt über alle Mengen Cn nehmen, die wir in dieser
Weise in n Schritten erhalten. Man zeige, daß die Cantor-Menge das
Lebesgue-Maß λ(C) = 0 Null hat und überabzählbar ist. Hinweis: Man kann
die Cantor-Menge auch beschreiben als die Menge aller Zahlen, die sich in
der Basis Drei mit einer Null vor dem Komma und ohne die Ziffer Eins ausdrücken
lassen, in Formeln
∞
C = ai3 −i
ai
∈ {0, 2}
i=1
Ergänzende Übung 6.2.32. Die Menge aller reellen Zahlen, die sich darstellen
lassen durch einen unendlichen Dezimalbruch, in dem die Ziffer 6 nicht
vorkommt, bilden eine abgeschlossene Teilmenge von R vom Lebesgue-Maß
Null.