Analysis

362 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
muß. Die Kettenregel formalisiert diese Anschauung für die linearen Anteile
unserer bestmöglichen affinen Approximationen.
1.3.3. Sind unsere drei normierten Räume R n , R m , R l , so bedeutet die Kettenregel
die Identität der Jacobi-Matrizen
oder ausgeschrieben die Identität
⎛
⎜
⎝
∂(g◦f)1 (p) ∂x1
. . .
∂(g◦f)1
∂xn (p)
·
⎞
· ⎟
· ⎟
· ⎠
(p) . . .
=
=
∂(g◦f)l
∂x1
⎛
⎜
⎝
∂g1
∂y1
∂gl
∂y1
(f(p)) . . .
∂(g◦f)l
∂xn (p)
[dp(g ◦ f)] = [df(p)g] ◦ [dpf]
∂g1
∂ym (f(p))
· ·
· ·
· ·
(f(p)) . . .
∂gl
∂ym (f(p))
⎞
⎟
⎠ ◦
⎛
⎜
⎝
∂f1
∂x1
∂fm
∂x1
(p) . . .
∂f1
∂xn (p)
· ·
· ·
· ·
(p) . . .
∂fm
∂xn (p)
Beweis. Zur Vereinfachung setzen wir q = f(p), L = dpf und M = dqg und
haben
f(p + h) = f(p) + Lh +hε(h)
g(q + j) = g(q) + Mj +jη(j)
für Abbildungen ε und η, die stetig sind bei Null und die dort verschwinden.
Wir schreiben
f(p + h) = q + j(h)
mit j(h) = Lh + hε(h) und erhalten durch Einsetzen
(g ◦ f)(p + h) = g(q + j(h))
Wir sind fertig, sobald wir zeigen
= g(q) + Mj(h) + j(h)η(j(h))
⎞
⎟
⎠
= (g ◦ f)(p) + MLh + Mhε(h) + j(h)η(j(h))
lim Mε(h) = 0 und lim
h→0 h→0
j(h)
η(j(h)) = 0
h
Der erste Grenzwert ergibt sich mühelos, h ↦→ Mε(h) ist eben auch stetig
bei h = 0 und nimmt dort den Wert Null an. Um den zweiten Grenzwert zu
berechnen, schätzen wir erst ab j(h) ≤ h(L + ε(h)) und dann
j(h)
η(j(h)) ≤ (L + ε(h))η(j(h))
h