Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1251
für die triviale G-Rechtsoperation auf X und “lokal trivial” in dem Sinne, daß
es für jeden Punkt von X eine offene Umgebung U und einen G-äquivarianten
Diffeomorphismus U × G ∼ → π −1 (U) gibt, für den das folgende Diagramm
kommutiert:
U × G
∼
→ π −1 (U)
pr 1 ↓ ↓ π
U = U
Definition 3.13.14. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit, G eine Lie-Gruppe,
und π : P → X ein glattes G-Hauptfaserbündel auf X. Die Projektion π :
P → X induziert eine Tangentialabbildung dπ : TP → TX und damit eine
Surjektion von Vektorraumbündeln TP ↠ π ∗ TX. Ein Zusammenhang ∇
auf P ist eine G-äquivariante Spaltung dieser Surjektion
∇ : π ∗ TX ↩→ TP
3.13.15 (Zusammenhänge in trivialen Hauptfaserbündeln). Der Raum
aller Zusammenhänge auf dem trivialen Bündel P = X × G ist in natürlicher
Weise in Bijektion zum Raum Ω 1 (X)⊗g aller 1-Formen auf X mit Werten in
g = TeG. In der Tat haben wir für P = X × G ein kommutatives Diagramm
mit offensichtlichen horizontalen Abbildungen und vertikalen Identifikationen
TP ↠ π ∗ TX
↓ ↓
TX × TeG × G ∼ → TX × TG ↠ TX × G
Eine Spaltung ∇ liefert insbesondere eine faserweise lineare Abbildung
TX = TX × {e} → TX × TeG → g
und so eine g-wertige 1-Form A = A∇ auf X. Umgekehrt bezeichne (·g) :
G → G, h ↦→ hg die Rechtsmultiplikation mit g ∈ G. In dieser Notation
bestimmt A ∈ Ω 1 (X)⊗g einen Zusammenhang ∇ = ∇A durch die Vorschrift
3.14 Wohin?
∇ : TX × G → TX × TG
(v, g) ↦→ (v, (de(·g) ◦ A)(v))
Bemerkung 3.14.1. Gegeben ein Zusammenhang ∇ : F → Ω1 ⊗OX X F gibt es
wohlbestimmte k-lineare Abbildungen
∇ i : Ω i X ⊗ OXF → Ω i+1
OX F