Analysis

1158 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
für alle x ∈ Y. Wir machen immer so weiter und konstruieren schließlich F
als Summe der gleichmäßig konvergenten Reihe
F = F0 + F1 + F2 + . . .
die gegen eine stetige Funktion strebt wegen II.6.6.4. Jetzt zeigen wir das
Erweiterungslemma noch für das Intervall [0, 1). Wir benutzen dieselben Notationen
wie eben und finden nach dem Vorhergehenden jedenfalls eine stetige
Erweiterung von f zu einer stetigen Abbildung F : X → [0, 1]. Dann
ist natürlich F −1 (1) abgeschlossen in X und disjunkt zu Y. Wir finden also
G : X → [0, 1] stetig mit G|Y = 1 und G| F −1 (1) = 0 und H = inf(F, G) ist
unsere gesuchte stetige Erweiterung von f. Den Rest des Beweises können
wir getrost dem Leser überlassen.
Übung 17.1.9. Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum läßt sich jede
auf einer kompakten Teilmenge definierte stetige reellwertige Funktion stetig
auf den ganzen Raum fortsetzen, und zwar sogar zu einer Funktion mit
kompaktem Träger.
Übung 17.1.10. Jede offene Teilmenge eines lokal kompakten separablen Hausdorff-Raums
X läßt sich darstellen als abzählbare Vereinigung von Mengen
der Gestalt {x | f(x) > 0} für f : X → [0, ∞) stetig mit kompaktem Träger.
17.2 Der Riesz’sche Darstellungssatz
17.2.1. Unter einem Borelmaß auf einem topologischen Raum verstehen
wir wie in IV.6.1.15 ein topologisches Maß, das auf allen Kompakta unseres
Raums endliche Werte annimmt. Diese Terminologie ist gängig, aber kein
universeller Standard. Wir werden jedoch Borelmaße eh nur auf separablen
lokal kompakten Hausdorffräumen verwenden, für die die Konventionen der
meisten Autoren dieselben Borelmaße liefern.
Definition 17.2.2. Sei X ein topologischer Raum und Cc(X, R) der reelle
Vektorraum aller stetigen Abbildungen f : X → R mit kompaktem Träger.
Eine Linearform Λ : Cc(X, R) → R heißt nichtnegativ genau dann,
wenn sie jeder nichtnegativen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet.
Solch eine nichtnegative Linearform nennen wir auch ein Radon-Maß
oder genauer ein nichtnegatives Radon-Maß auf unserem topologischen
Raum, obwohl sie durchaus kein Maß im Sinne einer Funktion auf einer σ-
Algebra IV.6.1.9 ist. Man beachte, daß wir von unserer Linearform keinerlei
Stetigkeitseigenschaften fordern.