Analysis

676 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Ergänzung 2.2.16. Das Auswerten eines unitären Charakters χ ∈ ˆ V auf v ∈ V
notieren wir hier und im folgenden 〈χ, v〉 ∈ S 1 . Die kommutativen Diagramme
in 2.1.7 nehmen in der koordinatenfreien Fassung mit dieser Notation die
Gestalt kommutativer Diagramme
M(V ) F
ξ·
Cb( ˆ V )
◦(+ξ)
M(V ) F
Cb( ˆ V )
M(V ) F
(+w)∗
Cb( ˆ V )
·〈 ,w〉
M(V ) F
Cb( ˆ V )
an, für beliebige Charaktere ξ ∈ ˆ V und Vektoren w ∈ V . Ganz links ist
die Multiplikation mit der Funktion ξ : V → C × zu verstehen, ganz rechts
mit unserer neuen Notation die Multiplikation mit der Funktion ˆ V → C ×
gegeben durch χ ↦→ χ(w).
2.3 Abstrakte Inversionsformel und Poisson-Formel
Definition 2.3.1. Unter einem Haar-Maß auf einem endlichdimensionalen
reellen Raum versteht man ein von Null verschiedenes translationsinvariantes
nichtnegatives Borelmaß.
Lemma 2.3.2. Auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum gibt es
ein Haarmaß, und je zwei Haarmaße unterscheiden sich höchstens um einen
konstanten positiven Faktor.
Beweis. Das folgt sofort aus Satz IV.6.1.20 über die Existenz und Eindeutigkeit
des Lebesguemaßes.
2.3.3. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Das Auswerten eines
unitären Charakters χ ∈ ˆ V auf v ∈ V notieren wir weiter 〈χ, v〉 ∈ S 1
und vereinbaren zusätzlich die Notation 〈v, χ〉 = 〈χ, v〉. Unter der kanonischen
Identifikation
can : V ∼ → ˆ V
verstehen wir die Abbildung v ↦→ 〈v, 〉, so daß also gilt (can v)(χ) = χ(v) −1 .
2.3.4. Verknüpfen wir die Fouriertransformation M( ˆ V ) → Cb( ˆ V ) mit dem
Vorschalten von can, so erhalten wir ganz allgemein auch eine Abbildung
vom Raum der komplexen Maße auf der Charaktergruppe in den Raum
der Funktionen auf unserem ursprünglichen Vektorraum, die wir notieren
als M( ˆ V ) → Cb(V ), ξ ↦→ ξ ∧ . Hier wird ξ ∧ also explizit gegeben durch
ξ ∧
(v) = 〈v, χ〉 ξ〈χ〉 =
ˆV
ˆV
〈χ, v〉 ξ〈χ〉