Analysis

992 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Jetzt können wir den Beweis des Satzes zu Ende führen. Sei A ⊂ E ein
Alkoven und p ∈ E ein Punkt unseres affinen Raums. Es gilt zu zeigen, daß
die Bahn W p von p den Abschluß Ā von A in genau einem Punkt trifft, in
Formeln
|W p ∩ Ā| = 1
Jeder Punkt p liegt nach 7.2.26 im Abschluß mindestens eines Alkoven, und
nach 7.3.13 trifft die Bahn von p den Abschluß Ā jedes Alkoven A, in Formeln
W p ∩ Ā = ∅. Wir müssen nur noch zeigen, daß für A ∈ A, p ∈ Ā und x ∈ W
aus xp ∈ Ā folgt xp = p. Sicher folgt schon mal xp ∈ xA alias A, xA ∈ Axp,
und nach dem vorhergehenden Satz gilt dann x ∈ Wxp, also xxp = xp, also
xp = p.
Übung 7.4.5. Diejenigen Elemente einer affinen Spiegelungsgruppe, die eine
vorgegebene Teilmenge des zugrundeliegenden affinen Raums punktweise
festhalten, bilden selber eine Spiegelungsgruppe.
7.4.6. Gegeben eine affine euklidische Spiegelungsgruppe W auf einem affinen
euklidischen Raum E wird für beliebige v, w ∈ E der Abstand v − zw
minimal genau für die z ∈ W, für die v und zw im Abschluß desselben
Alkoven liegen: Werden v und zw nämlich durch eine Wand getrennt, so gilt
für die Spiegelung s an dieser Wand notwendig v − zw > v − szw.
Ergänzung 7.4.7. Hier scheint es sinnvoll zu zeigen, daß für die durch A
definierte Länge l und Sp die Menge der Spiegelungen an Wänden von A
durch den Punkt p und W p die Menge aller w ∈ W mit l(sw) > l(w) für
alle s ∈ Sp die Multiplikation eine Bijektion Wp × W p ∼ → W definiert und
l(uv) = l(u) + l(v) gilt für u ∈ Wp, v ∈ W p . Man sollte sogar zeigen, daß wir
stets Bruhat-kleinste Doppelnebenklassenrepräsentanten und bei zwei endlichen
“parabolischen” Untergruppen auch Bruhat-größte Doppelnebenklassenrepräsentanten
haben.
7.5 Alkoven einer endlichen Spiegelungsgruppe
7.5.1. Gegeben zwei Vektoren eines euklidischen Vektorraums sagen wir, sie
schließen einen stumpfen Winkel bzw. einen spitzen Winkel ein genau
dann, wenn ihr Skalarprodukt nichtpositiv bzw. nichtnegativ ist.
Lemma 7.5.2. Gegeben zwei verschiedene Wände eines Alkoven einer affinen
euklidischen Spiegelungsgruppe schließen zwei auf diesen Wänden jeweils
senkrecht stehende Vektoren, die in Richtung unseres Alkoven zeigen, stets
stumpfe Winkel ein.