Analysis

344 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
Satz 3.3.4 (über die quadratische Konvergenz der Fouriereihe). Gegeben
eine stetige Funktion f : [0, 2π] → C mit Fourierkoeffizienten cν :=
〈ei νx , f〉 gilt
n
i νx
lim f
− cν e
n→∞
= 0
ν=−n
3.3.5. Gegeben eine Folge fn stetiger Funktionen von einem kompakten Intervall
[a, b] nach C und eine weitere stetige Funktion f sagt man, die Folge
der fn konvergiere im quadratischen Mittel gegen f genau dann, wenn
gilt
lim
n→∞
b
a
2
|f − fn| 2 = 0
Unser Satz sagt also in dieser Terminologie, daß die Fourierreihe einer stetigen
Funktion im quadratischen Mittel gegen besagte Funktion konvergiert. Wir
werden den vorhergehenden Satz in V.1.2.13 verallgemeinern von stetigen auf
alle “quadratintegrierbaren” Funktionen. Mit der Terminologie aus II.7.5.11
können wir im normierten Vektorraum C([0, 2π]) aus 3.3.2 die Aussage des
Satzes auch schreiben in der Gestalt
f =
i νx
cν e
ν∈Z
Beweis. Für alle n können wir f nach ?? zerlegen in seine Projektion auf
den von allen ei νx mit −n ≤ ν ≤ n aufgespannten Teilraum von C([0, 2π])
und einen auf diesem Teilraum senkrechten Anteil,
f =
n
ν=−n
cν e i νx +
f −
n
ν=−n
i νx
cν e
Wir nehmen nun zunächst zusätzlich f(0) = f(2π) an. Für alle ε > 0 finden
wir dann nach dem Korollar 3.2.15 des Satzes von Stone-Weierstraß ein
trigonometrisches Polynom g = n
ν=−n dν e i νx mit
|f(x) − g(x)| < ε ∀x
Es folgt sofort f − g2 < ε. Da in einem euklidischen Vektorraum nach ??
die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen endlichdimensionalen Teilraum
stets die bestmögliche Approximation durch Vektoren dieses Teilraums
ist, folgt für alle m ≥ n erst recht
m
i νx
f
− cν e < ε
ν=−m
2