Analysis

752 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Beweis. Seien ΦN, ΦN ′ die zugehörigen Teilungen der Identität auf C. Zunächst
einmal gilt es, 3.7.11 auf den Fall normaler Operatoren zu verallgemeinern.
Das zeigt dann AΦN(C) = ΦN ′(C)A erst für C ⊂V C und dann durch
die Betrachtung geeigneter Differenzmengen auch allgemeiner für halboffene
Rechtecke der Gestalt C = (a, b] × i(c, d]. Jetzt schreiben wir N ∗ und N ′∗ als
Grenzwert von Riemannsummen wie im Beweis von 3.10.3 und das Lemma
folgt.
Übung 3.10.8. Gegeben ein Hilbertraum H mit einer Teilung Φ der Identität
und f beschränkt und meßbar und P ∈ C[X] ein Polynom haben wir nach
3.6.19 die Identität
P fΦ = (P ◦ f)Φ
Man zeige diese Identität nun für beliebige beschränkte meßbare Funktionen
P : C → C.
3.11 Unbeschränkte Operatoren
3.11.1. In der Literatur trifft man unitäre Darstellungen von R meist in einer
mehr traditionellen Tracht als sogenannte “unbeschränkte selbstadjungierte
Operatoren” an. Ich stelle hier dieses Konzept vor und erkläre in Satz 3.11.9
seine Beziehung zu unitären Darstellungen, beweise von diesem Satz jedoch
nur noch einen Teil.
Definition 3.11.2. Unter einer partiell definierten linearen Abbildung
von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W verstehen wir ein Paar
(D, T ) bestehend aus einem Untervektorraum D ⊂ V und einer linearen
Abbildung T : D → W. Wir notieren solch eine partiell definierte lineare
Abbildung auch T : V W und schreiben D = D(T ) und nennen diesen
Untervektorraum den Definitionsbereich von T . Ist V ein normierter
Vektorraum und D ⊂ V dicht, so sprechen wir von einer dicht definierten
linearen Abbildung V W.
Beispiel 3.11.3. Ein typisches Beispiel für eine dicht definierte lineare Abbildung
wäre V = W = L 2 (R; dx) mit dem Teilraum D = {f ∈ L 2 (R; dx) ∩
C 1 (R) | f ′ ∈ L 2 (R; dx)} als Definitionsbereich und dem Ableiten T f = f ′ als
linearer Abbildung.
Definition 3.11.4. Gegeben T : H H ′ eine dicht definierte lineare Abbildung
von Hilberträumen erklären wir eine weitere partiell definierte lineare
Abbildung T ∗ : H ′ H, ihre adjungierte Abbildung, indem wir den
Teilraum D(T ∗ ) = {v ′ ∈ H ′ | v ↦→ 〈v ′ , T v〉 ist stetig auf D(T )} als ihren