Analysis

8. WURZELSYSTEME 1021
Beweis. Betrachten wir einen Alkoven der Spiegelungsgruppe aller linearen
Anteile unserer affinen Spiegelungsgruppe und wählen für jede Wand dieses
Alkoven einen darauf senkrechten Vektor, so sind besagte Vektoren linear
unabhängig nach 7.5.5. Wählen wir zu jeder Spiegelung an einer dieser Wände
ein Urbild in der affinen Spiegelungsgruppe, so haben die zugehörigen affinen
Spiegelebenen folglich nichtleeren Schnitt. Wir behaupten, daß jeder Punkt
aus diesem Schnitt ein spezieller Punkt ist. In der Tat erzeugen ja unsere
Urbilder eine Untergruppe unserer affinen Spiegelungsgruppe, die besagten
Punkt festhält und die surjektiv auf die Gruppe aller linearen Anteile unserer
affinen Gruppe geht.
Lemma 8.2.8. Jede essentielle affine Spiegelungsgruppe ist isomorph zur
affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems.
Beweis. Sei (W, E) unsere Spiegelungsgruppe. Wir wählen ein invariantes
Skalarprodukt auf dem Richtungsraum. Die Parallelität ist eine Äquivalenzrelation
auf der Menge aller ihrer Spiegelebenen, und jede Parallelenklasse
von Spiegelebenen ist offensichtlich von der Gestalt
{H + nv}n∈Z
für eine Spiegelebene H und einen darauf senkrechten Richtungsvektor v.
Die Verschiebung um α = 2v gehört notwendig zu W als die Verknüpfung
sH+v ◦ sH. Bezeichnet nun R die Menge aller so konstruierten Vektoren α
und ist e ∈ E ein spezieller Punkt und We seine Isotropiegruppe, so schränkt
die Verknüpfung in unserer Gruppe ein zu einer Bijektion
We × 〈R〉 ∼ → W
In der Tat liegen nämlich alle Spiegelungen bereits im Bild dieser Abbildung
und die Injektivität ist eh klar. Ist W essentiell, so spannt folglich R den
Raum der Richtungsvektoren auf. Weiter ist mit e auch α + e ein spezieller
Punkt für alle α ∈ R, und das zeigt umgehend, daß R ein Wurzelsystem ist
und W seine affine Weylgruppe.
8.2.9. Ist eine endliche lineare reelle Spiegelungsgruppe kristallographisch
und ist der Ursprung ihr einziger Fixpunkt, so ist sie die Isotropiegruppe des
Ursprungs in einer essentiellen affinen Spiegelungsgruppe. In der Tat besitzt
jede Spiegelebene dann eine Gleichung, die auf dem Gitter nur ganzzahlige
Werte annimmt. Alle Parallelen durch Gitterpunkte zu Spiegelebenen bilden
deshalb ein lokal endliches System von Hyperebenen und nach 7.3.13 ist dieses
System das Sytem aller Spiegelebenen einer affinen Spiegelungsgruppe,
von der man leicht sieht, daß sie essentiell sein muß.