Analysis

1428 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
mit ak ∈ N. Hätte die Funktion ζm(z) keinen Pol bei z = 1, so wäre sie holomorph
für Re(z) > 0 und nach 4.3.6 müßte dann auch ihre Dirichlet-Reihe
konvergieren für alle z mit Re(z) > 0. Nun ist der p-Faktor von ζm jedoch
(1 + p −g(p)z + p −2g(p)z + . . .) f(p) und hat dieselben oder größere Koeffizienten
vor den entsprechenden p-Potenzen wie die Reihe
(1 + p −ϕz + p −2ϕz + . . .)
mit ϕ wie oben. Die Dirichlet-Reihe von ζm(z) hat also dieselben oder größere
Koeffizienten wie die Reihe
n −ϕz
(n,m)=1
und diese Reihe divergiert für z = ϕ −1 selbst dann, wenn wir nur über prime
n summieren. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.
Quellen 4.3.8. Serre, Cours d’Arithmetique [?].