Analysis

542 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
nach 6.4.12 schreiben als punktweisen Grenzwert einer Folge von µ-meßbaren
Stufenfunktionen f(x) = lim sn(x). Dann verkleinern wir die Grundflächen
aller Stufen von von Null verschiedener Höhe zu meßbaren Mengen so, daß
sich das Maß der Stufen nicht ändert, und erhalten eine Folge von meßbaren
Stufenfunktionen ˜sn, die außerhalb einer meßbaren Nullmenge A punktweise
gegen f konvergiert, und betrachten den punktweisen Grenzwert ˜ f(x) =
limn→∞[A](x)˜sn(x).
Ergänzende Übung 6.4.23. Nach 6.2.17 gibt es für jede linksseitig stetige monoton
wachsende Funktion f : R → R genau ein topologisches Maß df auf
R mit (df)([a, b)) = f(b) − f(a) für beliebige a, b ∈ R mit a < b. Man zeige:
Ist unser f zusätzlich stetig differenzierbar, so stimmt df überein mit dem
Vielfachen f ′ (x) dx des Lebesgue-Maßes.
Ergänzende Übung 6.4.24. Ist f : R n → R monoton wachsend und linksseitig
stetig in jeder Variablen, so wissen wir aus 6.2.8, daß es auf dem Mengenring
aller endlichen Vereinigungen beschränkter Quader der Gestalt [a1, b1)×. . .×
[an, bn) genau ein Prämaß µf gibt derart, daß für ai, bi ∈ R mit ai < bi der
Wert µf([a1, b1)×. . .×[an, bn)) auf dem Quader die“alternierende Summe der
Werte von f auf den Ecken” ist. Man zeige: Existiert die gemischte partielle
Ableitung ∂1 . . . ∂nf und ist stetig, so stimmt die Caratheodory-Fortsetzung
µf unseres Prämaßes überein mit dem Vielfachen des (∂1 . . . ∂nf) d n x des
Lebesgue-Maßes.
6.5 Integrierbare Funktionen und ihr Integral
Definition 6.5.1 (Integrierbare Funktionen und ihr Integral). Gegeben
ein Maßraum X = (X, M, µ) heißt eine Funktion f : X → R integrierbar
oder genauer meßbar und integrierbar genau dann, wenn sie meßbar
ist und wenn zusätzlich gilt |f| < ∞ im Sinne des in 6.4.6 erklärten Integrals
nichtnegativer Funktionen. Wir definieren das Integral f ∈ R einer
integrierbaren Funktion f : X → R durch die Vorschrift
f := f +
− f −
wobei f + , f − : X → [0, ∞) den positiven bzw. negativen Anteil von f
bezeichnen, der gegeben wird durch f ± (x) = sup(±f(x), 0). Die Menge aller
integrierbaren Funktionen f : X → R notieren wir je nach der gewünschten
Präzision L1 R (X) = L1R (X; µ) = L1R (X; M, µ).
6.5.2. Wir haben nun genau genommen zwei Integrale definiert: Erst ein Integral
für meßbare nichtnegative Funktionen mit Werten in [0, ∞], das Werte in