Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1459
C × , zur punktierten Einheitskreisscheibe {z ∈ C × | |z| < 1}, oder zu einem
Kreisring {z ∈ C | 1 < |z| < R} für wohlbestimmtes R ∈ (1, ∞).
Beweis. Nach dem großen Riemann’schen Abbildungssatz, den wir in 3.5.2
ohne Beweis erwähnen, ist die universelle Überlagerung von X biholomorph
zu C oder zur offenen Einheitskreisscheibe D. Nach 2.1.15 haben alle biholomorphen
Abbildungen C ∼ → C die Gestalt z ↦→ az + b für a = 0. Die
topologisch freien Operationen von Z auf C sind also gegeben durch n ∗ z =
z + nb für b = 0 und die Abbildung z ↦→ exp(2π i z/b) induziert eine biho-
lomorphe Identifikation C/Zb ∼ → C × . Nach 1.8.21 haben weiter alle biho-
lomorphen Bijektionen D ∼ → D die Gestalt z ↦→ az+b
cz+d für (a c b d
) ∈ SU(1, 1)
und alle biholomorphen Bijektionen H + → H + die Gestalt z ↦→ az+b
cz+d für
( a c b d
) ∈ SL(2; R). Die fixpunktfrei operierenden Elemente sind genau dieje-
nigen, die in keinem maximalen Torus liegen. Ihre Konjugationsklasse wird
durch die Spur bereits eindeutig festgelegt, vergleiche ??. Im Fall der Spur
2, dem sogenannten “parabolischen” Fall, erhalten wir die Operation von Z
durch n ∗ z = z + n auf der oberen Halbebene und z ↦→ exp(2π i z) liefert eine
biholomorphe Identifikation H + /Z ∼ → D\0. Im Fall der Spur > 2 erhalten
wir eine Operation auf H + der Gestalt n∗z = a n z für a > 0. Der Hauptzweig
des Logarithmus identifiziert dann H + mit dem Streifen R × (0, π) i und die
Operation mit einer Operation durch Translation um log(a). Elementare Argumente
bringen uns von da zum dritten betrachteten Fall.
5.5 Elliptische Funktionen
Definition 5.5.1. Das Gruppenerzeugnis einer R-Basis in einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum nennt man auch ein Gitter in besagtem
Vektorraum.
Definition 5.5.2. Sei Γ ⊂ C ein Gitter. Eine Funktion f auf C heisst Γperiodisch
genau dann, wenn gilt f(z+w) = f(z) ∀w ∈ Γ. Eine meromorphe
Funktion f : C → C ⊔ {∞}, die Γ-periodisch ist für mindestens ein Gitter
Γ ⊂ C, heisst eine elliptische Funktion.
5.5.3. Was derartige Funktionen mit Ellipsen zu tun haben, wird erst später
klar werden: Ihre Umkehrfunktionen lassen sich in einigen Fällen als Kurvenintegrale
rationaler Funktionen in zwei Veränderlichen über Stücke von
Ellipsen deuten.
Satz 5.5.4. Sei Γ ⊂ C ein Gitter.
1. Jede holomorphe Γ-periodische Funktion C → C ist konstant.