Analysis

12. UNITÄRE DARSTELLUNGEN 1115
Insbesonder haben wir in unserem Fall
und damit
〈Xv, w〉 = −〈v, Y w〉
〈Xv, Xv〉 = −〈v, Y Xv〉
Wir erkennen so, daß es auf einer irreduziblen Hauptseriendarstellung ind G
B Cλ,ɛ
nur dann ein invariantes Skalarprodukt geben kann, wenn gilt
0 > (λ + n)(λ − n − 2) = λ(λ − 3) − n(n + 2)
für alle n ∈ ɛ + 2Z. Das ist für ɛ = 0 gleichbedeutend zu 0 > λ(λ − 2) alias
1 > (λ − 1) 2 und das gilt für λ ∈ 1 + iR sowie λ ∈ (2, 0). Für ɛ = 1 ist es
hinwiederum gleichbedeutend zu
0 > λ(λ − 2) + 1
alias 0 > (λ − 1) 2 und hier kommt nur λ ∈ 1 + iR x in Frage.
Dieselben Argumente zeigen, daß von den endlichdimensionalen einfachen
Darstellungen nur die triviale Darstellung unitarisierbar sein kann, daß aber
die diskreten Serien und ihre Grenzwerte auch infinitesimal unitarisierbar
sind.
12.3 Unitarisierbarkeit
Gegeben ein C-Vektorraum V erinnern wir seinen komplex-konjugierten Vektorraum
V aus ?? an seinen Dualraum V ∗ . Wir erhalten eine Bijektion
HomC(V , V ∗ ) ∼
−→ { Sesquilinearformen auf V }
indem wir jedem Homomorphismus ϕ die Sesqulinearform sϕ zuordnen, die
gegeben wird durch sϕ(v, w0 = (ϕ(v))(w). Um zu verstehen, welche Homomorphismen
hermiteschen Sesquilinearformen entspechen, beachten wir den
kanonischen Isomorphismus V
−→ V ∗ gegeben durch f ↦→ c◦f für c : C → C
∗ ∼
die komplexe Konjugation. Zu ϕ : V → V ∗ betrachten wir nun die transponierte
Abbildung ϕ T : V ∗∗ → V ∗ , schalten die kanonischen Einbettungen
b : V ↩→ V ∗∗ davor und die Identifikation (c◦) : V ∗ → V ∗ dahinter. Die so
entstehende lineare Abbildung
c ◦ ϕ T ◦ b : V → V ∗
ist natürlich auch eine lineare Abbildung V → V ∗ , und unsere obige Bijektion
induziert nun eine Bijektion
ϕ ∈ HomC(V , V ∗ | ϕ = c ◦ ϕ T ◦ b ∼
−→ { hermitesche Sequilinearformen auf V }