Analysis

1190 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Damit haben wir sogar eine explizite Beschreibung unserer stetigen Fortsetzung
erhalten, der man ihre Injektivität unmittelbar ansieht.
1.11.5. Gegeben ein Hilbert-Schmidt-Operator A bezeichnet man seine Norm
als Element des Hilbertraums H ′ ˆ⊗ ¯ H auch mit A2 oder AHS und nennt
diese Norm die Hilbert-Schmidt-Norm. Das Ende des vorhergehenden Beweises
liefert insbesondere die Abschätzung A ≤ A2 der Operatornorm
durch die Hilbert-Schmidt-Norm.
1.11.6. Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist in der Operatornorm ein Grenzwert
einer Folge von Operatoren endlichen Ranges und ist damit nach VI.10.6.3
insbesondere kompakt.
1.12 Spuren in Hilberträumen
Definition 1.12.1. Ein beschränkter Operator A : H → H ′ zwischen zwei
Hilberträumen heißt spurbar oder auch nuklear genau dann, wenn er kompakt
ist und wenn der Ausgangsraum eine Hilbertbasis (vi)i∈I besitzt mit
Avi < ∞
i∈I
Ergänzung 1.12.2. Es ist hier eigentlich unnötig, die Kompaktheit noch extra
zu fordern, denn sie folgt bereits aus unseren sonstigen Annahmen. Ich habe
diese Forderung nur deshalb mit zu unserer Definition hinzugenommen, da
man so für die weitere Entwicklung der Theorie nur die deutlich einfachere
Spektraltheorie kompakter selbstadjungierter Operatoren benötigt. Um die
Kompaktheit zu folgern, kann man so argumentieren: Ist A nicht kompakt,
so ist auch |A| = √ A ∗ A nicht kompakt, und man findet unter Zuhilfenahme
der Spektraltheorie des selbstadjungierten Operators |A| ein λ > 0 derart,
daß das Anwenden des λ-fachen der charakteristischen Funktion von [λ, ∞)
auf |A| einen Operator B mit einem unendlichdimensionalen Eigenraum zum
Eigenwert λ liefert, der auf dem orthogonalen Komplement dieses Eigenraums
verschwindet. Dieses B hinwiederum kann man für jedes n ∈ N zerlegen
als Bn + Rn mit Rn positiv definit und Bn vom Rang n mit den einzigen
Eigenwerten 0 und λ. Nach Konstruktion gilt nun
Avi =
〈|A|vi, vi〉 ≥
〈Bvi, vi〉 ≥
〈Bnvi, vi〉 = nλ
i∈I
i∈I
i∈I
für jede Hilbertbasis, wo wir uns bei der letzten Gleichung bereits auf den
im folgenden bewiesenen Satz stützen.
i∈I