Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 465
Den Vektorraum aller stetigen Funktionen f : X → R mit kompaktem Träger
bezeichnen wir mit Cc(X, R).
4.4.2. Diese Definition muß kleinlich genau genommen werden. Ist zum Beispiel
X = (0, 1) ein offenes Intervall und f die konstante Funktion 1, so hat
f nicht kompakten Träger, denn supp f = X ist nicht kompakt.
Definition 4.4.3. Ist U ⊂◦ Rn eine offene Teilmenge und f ∈ Cc(U, R) eine
stetige Funktion auf U mit kompaktem Träger, so definieren wir eine reelle
Zahl
f = f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn = f(x) d n x,
U
U
das Integral von f über U, indem wir f durch Null zu einer stetigen
Funktion mit kompaktem Träger auf R n ausdehnen und diese Ausdehnung
im Sinne von 2.1.1 integrieren über irgendeinen kompakten Quader, der den
Träger umfaßt. Im Spezialfall n = 0 vereinbaren wir, daß das Integral einfach
der einzige Funktionswert der zu integrierenden Funktion sein möge.
4.4.4. Man überlege sich als Übung, daß es hierbei nicht auf die Wahl des
kompakten Quaders ankommt. Das so definierte Integral ist offensichtlich
linear, f + g = f + g und λf = λ f für λ ∈ R, und monoton, als da
heißt f ≤ g ⇒ f ≤ g. Insbesondere folgt wie im Fall einer Veränderlichen
| f| ≤ |f|.
Ergänzung 4.4.5. In derselben Weise erklärt man auch den Träger für vektorwertige
Funktionen oder, noch allgemeiner, für Funktionen mit Werten in
einer beliebigen Gruppe, und in Fortführung von 2.1.4 erklärt man für jede
stetige Abbildung mit kompaktem Träger von R n in einen endlichdimensionalen
reellen Vektorraum ihr Integral, einen Vektor aus besagtem Vektorraum.
Auch die folgende Transformationsformel überträgt sich unmittelbar auf den
Fall vektorwertiger Funktionen.
Satz 4.4.6 (Transformationsformel). Seien U, V ⊂◦ Rn offene Teilmengen
und φ : U ∼ → V ein C1-Diffeomorphismus. Bezeichne |det dφ| die Abbildung
U → R, p ↦→ |det dpφ|. So gilt für jede stetige Funktion f : V → R mit
kompaktem Träger
f = (f ◦ φ) |det dφ|
V
U
Beispiele 4.4.7. Ist φ : R n → R n eine abstandserhaltende Abbildung, also
nach ?? die Verknüpfung einer orthogonalen Abbildung mit einer Translation,
so liefert die Transformationsformel für jede stetige Funktion mit kompaktem
Träger f : R n → R die Identität f = f ◦ φ. Ist φ : R 2 → R 2 die Streckung
um den Faktor 2, so liefert die Transformationsformel die Identität f =
4 f ◦ φ. Beide Aussagen sollten auch anschaulich unmittelbar einleuchten.
U