Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 799
auch g-stabil. Jeder g-stabile Teilraum ist auch (exp g)-stabil wegen der Kommutativität
des Diagramms in 1.6.8. Damit ist er dann auch G-stabil, denn
jede zusammenhängende Liegruppe wird vom Bild ihrer Exponentialabbildung
erzeugt nach 1.3.10 oder ausführlicher nach dem Beweis von 1.3.12.
Definition 2.1.24. Eine Darstellung einer Liealgebra heißt einfach oder
irreduzibel genau dann, wenn sie nicht Null ist und ihre einzige echte Unterdarstellung
die Nulldarstellung ist.
Korollar 2.1.25. Gegeben eine zusammenhängende Liegruppe liefert das Ableiten
von Darstellungen eine Einbettung von Isomorphieklassen
⎧
⎨
⎩
Einfache endlichdimensionale
stetige reelle Darstellungen
unserer Liegruppe
⎫
⎬
⎭ ↩→
Einfache Darstellungen
ihrer Liealgebra
Beweis. Einfache Darstellungen bleiben einfach beim Übergang zur Liealgebra
nach 2.1.23, nichtisomorphe bleiben nichtisomorph nach 2.1.16.
2.1.26. Gegeben ein R-Vektorraum V gibt es auf der Menge V × V genau
eine Struktur als C-Vektorraum derart, daß die Einbettung in die erste Komponente
can : V → V × V , v ↦→ (v, 0) reell-linear ist und daß für die Multiplikation
mit i ∈ C gilt i(v, 0) = (0, v). Wir bezeichnen diesen C-Vektorraum
mit
VC
und nennen ihn die Komplexifizierung des R-Vektorraums V . Weiter kürzen
wir meist (v, 0) = v ab und können dann jedes Element von VC eindeutig
schreiben in der Form v + i w mit v, w ∈ V . Das Vorschalten unserer Einbettung
can : V ↩→ VC liefert für jeden C-Vektorraum W eine Bijektion
HomC(VC, W ) ∼ → HomR(V, W )
Die Abbildung c : VC → VC gegeben durch (v + i w) ↦→ (v − i w) für beliebige
v, w ∈ V ist schieflinear, als da heißt, sie erfüllt die Regel c(za) = ¯zc(a)
für alle z ∈ C und a ∈ VC, und für jeden c-stabilen komplexen Teilraum
W ⊂ V entspricht die reell-lineare Einbettung W c ↩→ VC der Fixpunkte von
c in W nach VC unter obiger Bijektion einem Isomorphismus (W c ∼
)C → W .
Noch allgemeiner liefert sogar für jeden komplexen Vektorraum W mit einer
schieflinearen Involution c die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus
∼
→ W von komplexen Vektorräumen.
(W c )C