Analysis

166 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Konstruktion gilt |f(xn) − f(yn)| ≥ ε für alle n. Wir haben also gezeigt, daß
eine Funktion auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichmäßig stetig ist,
auch nicht stetig sein kann.
3.5 Integration stetiger Funktionen
Definition 3.5.1. Sei [a, b] ⊂ R ein nichtleeres kompaktes reelles Intervall
und f : [a, b] → R eine stetige reellwertige Funktion. Wir definieren die Menge
I(f) ⊂ R aller “naiven Integrale zu Treppen, die unter f liegen” durch
⎧
⎪⎨ n
I(f) := ci(ai − ai−1)
⎪⎩ i=1
Alle möglichen Wahlen von n ∈ N
und von Stellen a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ an = b
und von Werten c1, . . . , cn ∈ R derart,
daß gilt f(x) ≥ ci für alle x ∈ [ai−1, ai]
Da f stetig ist, hat es nach 3.4.3 einen beschränkten Wertebereich, d.h. es
gibt m, M ∈ R mit m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a, b]. Daraus folgt, daß m(b−a) zu
I(f) gehört und daß M(b−a) eine obere Schranke von I(f) ist. Als nichtleere
nach oben beschränkte Teilmenge von R hat I(f) nach 1.4.10 ein Supremum
in R. Wir nennen dies Supremum das Integral der Funktion f über das
Intervall [a, b] und schreiben
sup I(f) =:
b
a
f(x) dx =
b
a
f =
Auf die Bedeutung dieser Notationen gehen wir in 3.5.6 ein.
3.5.2. Anschaulich mißt das Integral von f die Fläche zwischen dem Graphen
von f und der x-Achse, wobei Flächenstücke unterhalb der x-Achse negativ
zu rechnen sind. Das Wort ist aus dem Lateinischen abgeleitet und bedeutet
so etwas wie “Zusammenfassung”. Der folgende Satz listet einige Eigenschaften
unseres Integrals auf. Man kann leicht zeigen, daß unser Integral sogar
durch diese Eigenschaften charakterisiert wird.
Satz 3.5.3 (Integrationsregeln). Sei [a, b] ⊂ R ein nichtleeres kompaktes
Intervall.
1. Für die konstante Funktion mit dem Wert 1 gilt b
1 = b − a.
a
2. Für f : [a, b] → R stetig und z ∈ [a, b] gilt b
a f = z
a f + b
z f.
3. Seien f, g : [a, b] → R stetig. Gilt f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b], in Kurzschreibweise
f ≤ g, so folgt b
a f ≤ b
a g.
[a,b]
f
⎫
⎪⎬
⎪⎭