Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1081
die Menge aller Verflechtungsoperatoren, als da heißt aller stetigen linearen
G-äquivarianten Abbildungen V → W . Die Menge aller stetigen linearen
Abbildungen zwischen zwei topologischen Vektorräumen notieren wir
Modto(V, W ).
11.4.5. ist ϕ : H → G ein stetiger Homomorphismus topologischer Gruppen,
so können wir zu jeder stetigen Darstellung W von G die restringierte
Darstellung
res H G W
von H bilden, indem wir denselben topologischen Vektorraum res H G
W = W
betrachten und darauf h ∈ H operieren lassen durch die Vorschrift hw =
ϕ(h)w. Wir notieren restringierte Darstellungen auch oft mit demselben Symbol
wie die ursprüngliche Darstellung.
Satz 11.4.6 (Frobenius-Reziprozität). Seien H → G ein stetiger Homomorphismus
von topologischen Gruppen, V eine stetige Darstellung von H
und W eine stetige Darstellung von G. Ist G lokal kompakt, so liefert das
Dahinterschalten des Auswertens beim neutralen Element a : ind G
H V → V
eine Bijektion
(a◦) : Modto G (W, ind G
H V ) ∼ → Modto H (res H G W, V )
Beweis. Wir zeigen den Satz zunächst in dem Fall, daß H die triviale einelementige
Gruppe ist. In dem Fall gilt es zu zeigen, daß gegeben W eine stetige
Darstellung einer lokal kompakten topologischen Gruppe G und V ein topologischer
Vektorraum das Verknüpfen mit dem Auswerten am neutralen
Element a : C(G, V ) → V eine Bijektion
(a◦) : Modto G (W, C(G, V )) ∼ → Modto(W, V )
liefert. Dazu reicht es, wenn wir zeigen, daß wir eine inverse Abbildung
erhalten durch die Vorschrift ϕ ↦→ ˜ϕ, wo für ϕ : W → V stetig linear
˜ϕ : W → C(G, V ) definiert sei durch ( ˜ϕ(w))(x) = ϕ(xw). Offensichtlich ist
˜ϕ dann G-äquivariant, und die Stetigkeit von ˜ϕ folgt mit 11.2.13 aus der
Stetigkeit von W × G → V , (w, x) ↦→ ϕ(xw). Die Identität a ◦ ˜ϕ = ϕ ist
dann offensichtlich und liefert die Surjektivität von (a◦). Die Injektivität von
(a◦) ist leicht einzusehen. Damit haben wir die Frobenius-Reziprozität in
diesem Spezialfall gezeigt. Im Fall einer beliebigen Gruppe H gehen wir aus
vom eben im Fall der trivialen Gruppe hergeleiteten Isomorphismus. Unter
diesem Isomorphismus entspricht nun die Operation von H durch Konjugation
auf Modto(W, V ) der Operation von H auf Modto G (W, C(G, V )) durch
˜ϕ ↦→ ˜ h ◦ ˜ϕ, für ˜ h : C(G, V ) → C(G, V ) die Konjugation ( ˜ hf)(g) = hf(h −1 g).
Gehen wir zu den Fixpunkten von H über, so erhalten wir demnach den
gewünschten Isomorphismus der Frobenius-Reziprozität.