Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 477
Die Jacobi-Matrix ergibt sich zu
⎛
cos θ −r sin θ
dϕ± = ⎝ sin θ
∓r/
r cos θ
√ 1 − r2 ⎞
0
⎠
und wir erhalten als Gram’sche Matrix
(dϕ±) ⊤
2 1/(1 − r ) 0
(dϕ±) =
0 r2
Die Wurzel aus der Determinante der Gram’schen Matrix ergibt sich damit
zu r/ √ 1 − r 2 und wir folgern für jede stetige Funktion f : S 2 → R mit Träger
in U+ ∪ U− die Formel
π 1
r
f = f(ϕ+(r, θ)) √
1 − r2 S 2
−π
0
π
dr dθ +
−π
1
0
r
f(ϕ−(r, θ)) √ dr dθ
1 − r2 Argumentieren wir nun heuristisch, gehen davon aus, daß dieses Weglassen
eines Längen- und eines Breitengrades das Integral einer stetigen Funktion ja
wohl kaum ändern kann, und wenden unsere Formel mutig auf die konstante
Funktion Eins an, obwohl unser Satz das gar nicht erlaubt, so erhalten wir
heuristisch für die Oberfläche der Einheitskugel das Ergebnis
S 2
1 = 2
π 1
−π
0
r
√ dr dθ = 4π
1 − r2 Im Rahmen der Lebesgue’schen Integrationstheorie werden wir Sätze kennenlernen,
mit deren Hilfe sich die obige heuristische Argumentation auch
formal rechtfertigen läßt, verleiche 6.9.6.
4.5.6. Hat M die Dimension k, so ist dxϕ eine Matrix mit k Spalten und n
Zeilen und das Produkt (dxϕ) ⊤ (dxϕ) dieser Matrix mit ihrer Transponierten
ist folglich eine (k × k)-Matrix. Diese sogenannte Gram’sche Matrix kann
aufgefaßt werden als die Matrix aller Skalarprodukte zwischen Spaltenvektoren
von dxϕ. Sie ist nach ?? insbesondere positiv semidefinit und hat damit
eine nichtnegative Determinante. Gegeben eine nicht notwendig quadratische
Matrix V mit Spaltenvektoren v1, . . . , vk ∈ R n definieren wir ganz allgemein
eine reelle Zahl
vol V = vol(v1| . . . |vk) := det(V ⊤ V ) =
det(〈vi, vj〉)
und nennen sie das k-dimensionale Volumen des von den Vektoren vi aufgespannten
Parallelpipeds. Die Wurzel aus der Determinante der Gram’schen
Matrix können wir mit dieser Notation auch kürzer schreiben als
det (dxϕ) ⊤ (dxϕ) = vol(dxϕ)