Analysis

512 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
In Worten ist ein System von Teilmengen einer Menge X also eine Mengenalgebra
genau dann, wenn es stabil ist unter dem Bilden von endlichen
Vereinigungen und von Komplementen bezüglich X.
6.1.3. Ich will kurz diskutieren, warum unsere Definition in Formeln zu unserer
Definition in Worten gleichbedeutend sind. Bei der Definition in Worten
ist mitgemeint, daß eine Mengenalgebra die leere Menge enthalten soll als“die
Vereinigung über überhaupt keine Teilmenge von X”, vergleiche ??. Bei der
Definition in Formeln folgt umgekehrt die Stabilität von A unter endlichen
Vereinigungen von mehr als zwei Mengen induktiv.
6.1.4. Eine Mengenalgebra ist natürlich auch stabil unter dem Bilden von
endlichen Schnitten und von Differenzmengen.
Definition 6.1.5. Eine Mengenalgebra, die sogar stabil ist unter abzählbaren
Vereinigungen, heißt eine σ-Algebra, französisch tribu. Ein Paar
(X, M) bestehend aus einer Menge X und einer σ-Algebra M ⊂ P(X) heißt
ein Meßraum. Die Mengen aus M heißen dann die meßbaren Mengen von
(X, M) oder kurz von X.
6.1.6. In Formeln ist eine σ-Algebra also eine Mengenalgebra A ⊂ P(X)
derart, daß aus Ai ∈ A für i = 1, 2, . . . folgt
i∈N Ai ∈ A. Gegeben ein
Meßraum (X, M) ist dann natürlich auch ganz X meßbar und abzählbare
Schnitte meßbarer Mengen sind wieder meßbar.
Beispiel 6.1.7. In jeder Menge bilden die endlichen Teilmengen mitsamt ihren
Komplementen eine Mengenalgebra, die jedoch nur dann eine σ-Algebra ist,
wenn wir unsere Konstruktion in einer endlichen Menge durchführen. In jeder
Menge bilden die abzählbaren Teilmengen mitsamt ihren Komplementen eine
σ-Algebra.
Beispiel 6.1.8. Alle endlichen Vereinigungen von Intervallen bilden eine Mengenalgebra
von Teilmengen von R. Die abzählbaren Vereinigungen von Intervallen
bilden keine σ-Algebra von Teilmengen von R, da dieses Mengensystem
nicht unter dem Bilden von Komplementen stabil ist: Zum Beispiel ist die
Menge der rationalen Zahlen Q ⊂ R eine abzählbare Vereinigung von Intervallen,
genauer von einelementigen Intervallen, aber ihr Komplement R\Q
ist keine abzählbare Vereinigung von Intervallen mehr.
Definition 6.1.9. Sei X = (X, M) ein Meßraum. Ein Maß oder genauer ein
nichtnegatives Maß auf X ist eine Abbildung µ : M → [0, ∞] derart, daß
für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten meßbaren Mengen das
Maß ihrer Vereinigung übereinstimmt mit der Summe der Maße der einzelnen
Mengen. Wir sagen dann auch, die Abbildung µ sei σ-additiv und nennen