Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1101
Lemma 11.10.11 (Vollständigkeit von Funktionenräumen). Ist X lokal
kompakt und A eine vollständige abelsche topologische Gruppe, so ist auch
C(X, A) eine vollständige abelsche topologische Gruppe für die kompakt-offene
Topologie und die punktweise Verknüpfung.
Beweis. Gegeben U ⊂ A schreiben wir für das Bild von U n ⊂ A n unter
der Verknüpfung auch kurz U n ⊂ A. Sei F ein Cauchy-Filter in C(X, A).
Gegeben x ∈ X erzeugen die U ⊂◦ A mit O(x, U) ∈ F offensichtlich einen
Cauchy-Filter Fx in A. Da A vollständig ist, konvergieren die Filter Fx in
A. Wir betrachten nun die Abbildung f : X → A, die jedem x ∈ X einen
Grenzwert des Filters Fx zuordnet, und behaupten, daß f stetig ist und daß
unser Filter F gegen f konvergiert. Gegeben ein Punkt x ∈ X, eine offene
unter Inversenbildung stabile Umgebung U des neutralen Elements in A und
eine kompakte Umgebung K von x gibt es h ∈ C(X, A) mit hO(K, U) ∈ F.
Natürlich gilt dann auch O(y, h(y)U) ∈ F für alle y ∈ K und wir folgern
f(y)U ∩ h(y)U = ∅ alias f(y) ∈ h(y)U 2 für alle y ∈ K. Verkleinern wir nun
K zu einer kompakten Umgebung von x derart, daß zusätzlich auch noch gilt
h(K) ⊂ h(x)U, so folgt
f(K) ⊂ h(x)U 3 ⊂ f(x)U 5
und f ist in der Tat stetig. Es gilt nun noch zu zeigen, daß F gegen f konvergiert.
Indem wir unseren Filter mit f −1 verschieben, dürfen wir annehmen,
daß alle Fx gegen das neutrale Element unserer Gruppe A konvergieren. Es
gilt dann zu zeigen, daß F gegen das neutrale Element von C(X, A) konvergiert,
daß also für beliebige K ⊂ X kompakt und U ⊂◦ A offen um das
neutrale Element gilt O(K, U) ∈ F. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
dürfen wir hierfür U stabil unter Inversenbildung annehmen. Da F Cauchy
ist, gibt es jedenfalls h ∈ C(X, A) mit hO(K, U) ∈ F. Für alle x ∈ K muß
hier h(x)U jede Umgebung des neutralen Elements in A treffen, es folgt also
erst h(K) ⊂ U 2 und dann O(K, U 3 ) ∈ F.
11.11 Hauptseriendarstellungen von SL(2; R)
Definition 11.11.1. In der Gruppe G = SL(2; R) betrachten wir die Untergruppe
B der oberen Dreiecksmatrizen. Gegeben λ ∈ C und ε ∈ {0, 1}
betrachten wir den Gruppenhomomorphismus ρλ,ε : B → C × mit
ρλ,ε(b) = |b11| λ (sgn(b11)) ε
der entsteht durch das Bilden des oberen linken Eintrags b ↦→ b11 gefolgt von
einem beliebigen stetigen Homomorphismus R × → C × , vergleiche V.1.6.6.