Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 813
Darstellung ist also der ganze Raum oder der Nullraum. Da jeder Endomorphismus
eines von Null verschiedenen endlichdimensionalen Raums über C
mindestens einen Eigenwert hat, folgt das Lemma.
2.4.4. Für jede komplexe endlichdimensionale einfache Darstellung L einer
Gruppe G liefert unser Schur’sches Lemma in Formeln einen Isomorphismus
C ∼ → End G
C L
vermittels λ ↦→ λ idL. Eine allgemeinere Variante des Schur’schen Lemmas
findet man in ??. Es ist hierbei wesentlich, mit komplexen Darstellungen oder
allgemeiner Darstellungen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper
zu arbeiten: Für die durch die Einbettung S 1 ↩→ C × gegebene Darstellung
von S 1 auf C etwa hätten wir End S1
R C ∼ = C, für die triviale Darstellung
dahingegen End S1
R R ∼ = R.
Übung 2.4.5. Für je zwei komplexe endlichdimensionale einfache Darstellung
L, M einer Gruppe G gilt dimC Hom G C(L, M) ≤ 1.
Übung 2.4.6 (Eindeutigkeit invarianter Skalarprodukte). Zwei invariante
Skalarprodukte auf einer irreduziblen endlichdimensionalen reellen oder
komplexen Darstellung einer Gruppe unterscheiden sich höchstens um einen
positiven Skalar, ja je zwei invariante Bilinearformen und im Komplexen
auch je zwei invariante Sesquilinearformen auf einer irreduziblen endlichdimensionalen
Darstellung unterscheiden sich höchstens um einen Skalar.
Hinweis: Man beachte die Identifikationen Bil(V ) ∼ → Hom(V, V ∗ ) nach ??
und analog für Sesq(V ) die Menge der Sesquilinearformen s : V × V → C
auf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum die Identifikation
Sesq(V ) ∼ → Hom(V , V ∗ ) mit s ↦→ fs und fs gegeben durch fs(¯v) : w ↦→ s(v, w)
mit V dem komplex konjugierten Vektorraum nach ??. Dann wende man
2.4.5 an.
Übung 2.4.7. Unter einer unitären Darstellung einer Gruppe versteht man
eine Darstellung durch unitäre Automorphismen eines endlichdimensionalen
unitären Vektorraums oder allgemeiner eines Hilbertraums. Man zeige: Sind
U, V zwei nichtisomorphe endlichdimensionale einfache Unterdarstellungen
einer unitären Darstellung, so stehen U und V aufeinander senkrecht. Hinweis:
Orthogonale Projektion ??.
2.4.8. Wie bereits der Fall der trivialen Gruppe zeigt, sind die bei einer Zerlegung
einer Darstellung in eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen
auftretenden Unterdarstellungen im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt:
Ein endlichdimensionaler Vektorraum etwa kann auf viele verschiedene Arten
als direkte Summe eindimensionaler Teilräume dargestellt werden. Die